Практикум по числовым и функциональным рядам

1) Если , начиная с некоторого и ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится, а если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

В качестве рядов для сравнения удобно рассматривать :

а) геометрическую прогрессию , , сходящуюся при и расходящуюся при ;

б) гармонический ряд , который расходится;

в) ряд Дирихле , сходящийся при и расходящийся, при p <1 ( что доказывается с помощью интегрального признака Коши).

2) Если существует конечный и отличный от нуля предел (в частности, , то ряды (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Так как данный n -й член ряда имеет вид ln (1+ ), где - бесконечно малая величина при n , и известно, что ln (1

, то этот ряд сравниваем с рядом

, представляющим собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q =1/7<1, которая сходится, следовательно, и исходный ряд сходится.

Пример 2. Исследовать ряд .

n -й член данного ряда:

, т.е. при n ведет себя как гармонический, следовательно, ряд также расходится.

Часто, прежде чем использовать какой-либо из достаточных признаков сходимости ряда, необходимо использовать понятие эквивалентных бесконечно малых величин при и обязательно проверить необходимые условия сходимости исследуемого ряда.

Пусть , начиная с некоторого n = n 0 и существует предел , то ряд (1) сходится при q <1 и расходится при q <0. Если q =1, то вопрос о сходимости ряда (1) остается открытым.

следовательно, исследуемый ряд сходится.

Пример 4. Исследовать ряд

следовательно, ряд сходится.

Признак Коши (радикальный)

Пусть (начиная с некоторого n 0 ) и существует предел . Тогда ряд (1) сходится , если q <1, и расходится, если q >1, а при q =1 вопрос о сходимости ряда (1) остается открытым.

следовательно, ряд расходится.

Интегральный признак Коши

Если , где функция f ( x ) положительна, монотонно убывает и непрерывна при , то ряд (1) и интеграл сходятся и расходятся одновременно.

Пример 6. Исследовать ряд на сходимость

Исследуем несобственный интеграл на сходимость

т.е. этот несобственный интеграл сходится, следовательно, и исходный ряд также сходится.

В качестве характерных ошибок следует отметить, что иногда сразу пытаются пользоваться каким-либо из достаточных признаков сходимости ряда, не проверив необходимого признака сходимости, например, при исследовании на сходимость ряда:

При исследовании этого ряда пытаются сразу применить радикальный признак Коши, не проверив, выполняется ли необходимый признак сходимости.

Исследуем ряд на сходимость:

Таким образом, не выполнен необходимый признак сходства ряда, следовательно, все другие исследования лишены смысла, ряд расходится.

2. Знакопеременные ряды

При исследовании на сходимость знакопеременных рядов необходимо их исследовать на абсолютную и условную сходимость:

1) абсолютная сходимость, когда сходится знакоположительный ряд, составленный из модулей членов знакопеременного ряда;

2) условная сходимость, когда ряд из модулей является расходящимся, а знакопеременный ряд при этом сходится.

Проверка абсолютной сходимости проводится с использованием признаков сходимости знакопостоянных рядов.

Для доказательства условной сходимости можно применить признак Лейбница: если для знакопеременного ряда выполнены следующие условия:

1) ряд знакочередующийся, т.е. ;

то ряд сходится ( по крайней мере условно).

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд:

Проверим вначале, обладает ли ряд абсолютной сходимостью. Ряд из имеет вид , т.е. является расходящимся рядом (гармонический ряд). Таким образом, абсолютной сходимости нет.

Применим признак Лейбница:

1) Ряд является знакочередующимся;

Следовательно, рассматриваемый ряд сходится условно.

II .ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Для функциональных рядов вида можно найти область сходимости, т.е. множество значений х, при подстановке каждого из которых в полученный числовой ряд будет сходящимся.

Для определения области сходимости можно воспользоваться признаком Даламбера, т.е. найти .

В таком случае значения х, принадлежащие области сходимости, являются решениями неравенства | f (x)|<1. Так как при | f ( x )|=1 признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости числового ряда, решения уравнения | f ( x )| =1 нужно рассматривать отдельно.

Пример 9. Найти область сходимости функционального ряда

Решением неравенства является интервал (-2;2).

Исследуем сходимость ряда на границах: при х=-2 и при х=2.

Если х=-2, то ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости. Тот же результат получим при х=2. Следовательно, областью сходимости ряда является интервал (-2,2).

III . СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Частный случай функциональных рядов представляют степенные ряды вида , где . Область сходимости такого ряда представляет собой интервал ( ), возможно, включающий границы. Величина R называется радиусом сходимости степенного ряда и определяется по формуле Даламбера: или по формуле Коши-Адамара .

Найти область сходимости степенного ряда .

Используем формулу Коши-Адамара .

Область сходимости имеет вид или .

Проверим сходимость ряда на границах области: при числовой ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие

сходимости. Аналогичный результат получим при . Следовательно, областью сходимости данного ряда является интервал .

IV . РЯДЫ ТЕЙЛОРА

При разложении функции в ряд Тейлора нужно найти коэффициенты степенного ряда , имеющие вид . В ряде случаев можно использовать известные разложения функций в окрестности .

Пример 11. Разложить в ряд Тейлора при функцию

Разложение в степенной ряд допускает почленное интегрирование и дифференцирование.

Пример 12. Разложить в ряд Тейлора в окрестности функцию .

Разложим в ряд производную данной функции , воспользовавшись табличным разложением для функции

Проинтегрировав общий член полученного ряда, и, учитывая, что y (0)=0, получим искомое разложение: .