0:0 сумму цифр, а через. произведение цифр натурального числа n. Найдите все натуральные числа n, для которых. Denote by. the sum of the digits, and n

1 Обозначим через S 0:0 сумму цифр, а через P произведение цифр натурального числа Найдите все натуральные числа, для которых P S Deote by S the sum of the digits, ad P is the product of the digits of a atural umber Fid all positive itegers for which P S 0: Найдите наименьшее положительное значение суммы tgy tgx, если Fid the smallest positive value of the sum of if tgy tgx 0: В записи натурального числа используются цифры 3 и 7, причём сумма всех цифр делится как на 3, так и на 7 Найдите наименьшее такое число There are digits 3 ad 7 are used i the writig of the atural umber, ad the sum of all digits is divisible by 3 ad 7 Fid the smallest such umber 0:3 Найдите все целые а, при которых уравнение x ax a 0 имеет целый корень Fid all itegers а for which the equatio x ax a 0 has a iteger root 0:4 Длинную бумажную ленту ширины перегнули под углом к её краю (см рис) При этом совместившиеся части ленты образовали треугольник (двухслойный) Найдите его наименьшую возможную площадь Log paper ribbo of width= bet at a agle to its edge (see pic)

2 Superimposed o each other parts of the ribbo formed a triagle (two-layer) Fid the smallest possible area of the triagle Решите уравнение 0 7 x 0 x Solve the equatio 0 x 7 x 0 0:5 0:6 На стороне ВС равнобедренного ΔАВС (АВ = ВС) взяли точки N и М (N ближе к В, чем М) такие, что NM = AM и MAC BAN Найдите CAN O the ВС side of a isosceles triagle ΔАВС (AB = BC) took the poits N ad M (N is closer to K tha M) such that NM = AM и MAC BAN Fid : CAN Стороны прямоугольника выражаются целыми числами Какой длины они должны быть, чтобы периметр прямоугольника численно равнялся его площади? Sides of the rectagle are expressed by itegers What legth they should be to the perimeter of the rectagle is umerically equal to its area? : Отрезок АВ диаметр окружности с центром в точке О В эту окружность вписаны ΔАВС и ΔАВD, причём АD делит пополам САВ, а ВС делит пополам АВD Найдите величину СОD A segmet AB is the diameter of a circle with ceter at the poit O ΔАВС ad ΔАВD are iscribed i this circle, ad AD bisects CAB, ad ВС bisects АВD Fid the value of the COD :3 Натуральное число является произведением двух различных простых чисел, а сумма всех его делителей, считая, но не считая, равна 000 Найдите все такие A atural umber is the product of two differet primes, ad the sum of all its divisors, icludig but excludig, is equal to 000 Fid all such

3 :4 В классе не менее 95,5% и не более 96,5% учеников учатся без двоек При каком наименьшем количестве учеников это возможно? There are ot less tha 955% ad ot more tha 965% of the studets lear without deuces (bad marks) i the class What is the fewest umber of studets i the class ca be whe it is possible? :5 4 Решите уравнение x 3x x x 4 Solve the equatio x 3x x x :6 В окружность вписан выпуклый пятиугольник ABCDE Стороны ВС, CD и DE имеют одинаковую длину, а стороны АВ и АЕ равны радиусу окружности Найдите величину АВС A covex petago ABCDE is iscribed i a circle Sides BC, CD, ad DE are of the same legth ad the sides AB ad AE is equal to the radius of the circle Fid the value of АВС : На доске записано число 3 Каждую минуту число на доске стирается, а на его месте записывается произведение цифр стёртого числа, увеличенное на Какое число будет записано на доске через час? The umber 3 is writte o the Black Board The umber o the Board is erased ad replaced by the product of its digits icreased by every miute What umber will be writte o the Board i a hour? :3 Незнайка написал на доске несколько различных натуральных чисел и поделил их сумму на их произведение После этого он стёр самое маленькое число и поделил сумму оставшихся чисел на их произведение Второй результат оказался втрое больше первого Какое число стёр Незнайка? Duo wrote o the Board several differet atural umbers ad divide their sum by their product The he erased the smallest umber ad divide the sum of the

4 remaiig umbers by their product The secod result was three times greater tha the first What umber did Duo erase? :4 Петя, Коля и Вася решили 00 задач, причём каждый решил по 60 задач Назовём задачу трудной, если её решил только один из мальчиков, и лёгкой, если её решили все трое На сколько трудных задач больше, чем лёгких? Petya, Kolya ad Vaya solved 00 tasks, each of them solved 60 tasks Let's call a task difficult, if it is solved by oly oe of the boys, ad task is easy, if it is solved by all of them How may more difficult tasks tha easy? :5 Найдите сумму!! 3 3! 07 07! Fid the sum!! 3 3! 07 07! :6 Найдите сумму всех чисел от до 00, в записи которых нет цифр 4 и 5 Fid the sum of all umbers from to 00, i which there is o 4 ad 5 digits 3:3 Три математика ехали в одном поезде, но в разных вагонах Подъезжая к одной станции, математики стали считать скамейки на привокзальном перроне Оказалось, что к моменту остановки они увидели соответственно 5, и 7 скамеек, а после остановки один математик увидел в три раза больше скамеек, чем другой А сколько скамеек после остановки увидел третий математик? Three mathematicias were travelig i the same trai but i differet railcars Approachig oe statio, mathematicias bega to cout beches o the statio platform Tured out that by the time the stopped they had see respectively 5, ad 7 beches, ad after stoppig, oe mathematicia saw three times more beches tha the other How may beches after stoppig saw the third mathematicia? 3:4

5 Назовём билет с номером от до «отличным», если в записи его номера имеется две соседние цифры, отличающиеся на 5 Сколько всего существует «отличных» билетов? Let s call a ticket with a umber from to "great", if there are two adjacet umbers differig by 5 i its writig How may "great" tickets i total? 3:5 Диагонали АС и ВD трапеции АВСD (АD ВС) взаимно перпендикулярны Длина средней линии трапеции равна m На большем основании АD взята точка М так, что АМ = m Найдите МС Diagoals AC ad BD of a trapezoid ABCD (AD BC) are mutually perpedicular Legth of the middle lie of a trapezoid is equal to m Poit M is take o the large base AD so that AM = m Fid MC 3:6 Найдите сумму квадратов цифр всех натуральных чисел от до 07 Fid the sum of the squares of the digits of all atural umbers from up to 07 4:4 3y 4xy При каких х и у выражение значения? принимает наибольшее и наименьшее 3y 4xy Uder what x ad y does the expressio evaluate to the greatest ad the smallest values? 4:5 На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться произведение трёх натуральных чисел, если их сумма равна 407? O what maximal umber of zeros ca the product of three atural umbers eds if their sum is equal to 407? 4:6 Правильный 07-угольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники Сколько среди них остроугольных?

6 The regular 07go (a figure with 07 agles) is cut by o-itersectig diagoals ito triagles How may of them acute-agled? Даны корни y y x и x, x ax b, x ax b квадратного трёхчлена a a There are roots y и x 5:5,, и x квадратных трёхчленов y,, y x ax b Найдите корни a b b b x ad x, x ax b, x ax b triomial y x ad x,, ad x of quadratic triomials y,, y x ax b Fid roots of quadratic a a a b b b x 5:6 Медианы АЕ, BF, CD ΔАВС пересекаются в точке М Оказалось, что точки E, C, F, M лежат на одной окружности, CD = Найдите длину отрезка АВ The medias AE, BF, CD ΔАВС itersect at the poit M Tured out that poits E, C, F, M are cocyclic (lie o the same circle), CD = Fid the legth of the segmet AB Последовательность a a a a 6:6 задана соотношениями a, a, при ( 0) Найти a 07 The sequece a is set by the ratios a, a, 0) Fid a 07 a a a at (

Вариант 1 1. В треугольнике два угла равны 58 и 69. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах. 2. Найдите больший угол параллелограмма. 3. Сторона АВ треугольника АВС проходит через центр окружности