Производная натурального логарифма и логарифма по основанию a

Вывод формул производных натурального логарифма и логарифма по основанию a

Производная натурального логарифма от x равна единице, деленной на x: (1) ( ln x )′ = .

Производная логарифма по основанию a равна единице, деленной на переменную x, умноженную на натуральный логарифм от a : (2) ( log a x )′ = .

Далее мы приводим вывод этих формул.

Пусть есть некоторое положительное число, не равное единице. Рассмотрим функцию, зависящую от переменной x , которая является логарифмом по основанию : . Эта функция определена при . Найдем ее производную по переменной x . По определению, производная является следующим пределом: (3) .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать следующие факты: А) Свойства логарифма. Нам понадобятся следующие формулы: (4) ; (5) ; (6) ; Б) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции: (7) . Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен. В) Значение второго замечательного предела: (8) .

Применяем эти факты к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение . Для этого применим свойства (4) и (5). .

Далее сделаем подстановку . При , . Тогда .

Воспользуемся свойством (7) и вторым замечательным пределом (8): .

И, наконец, применим свойство (6): . Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом. Он обозначается так: . Тогда ; .

Тем самым мы получили формулу (2) производной логарифма.

Производная натурального логарифма

Еще раз выпишем формулу производной логарифма по основанию a : . Эта формула имеет наиболее простой вид для натурального логарифма, для которого , . Тогда (1) .

Из-за такой простоты, натуральный логарифм очень широко используется в математическом анализе и в других разделах математики, связанных с дифференциальным исчислением. Логарифмические функции с другими основаниями можно выразить через натуральный логарифм, используя свойство (6): .

Производную логарифма по основанию можно найти из формулы (1), если вынести постоянную за знак дифференцирования: .

Здесь мы предполагаем, что нам известна формула производной экспоненты: (9) . Тогда мы можем вывести формулу производной натурального логарифма, учитывая, что логарифм является обратной функцией к экспоненте.

Докажем формулу производной натурального логарифма, применив формулу производной обратной функции: . В нашем случае . Обратной функцией к натуральному логарифму является экспонента: . Ее производная определяется по формуле (9). Переменные можно обозначить любой буквой. В формуле (9), заменим переменную x на y: . Поскольку , то . Тогда . Формула доказана.

Теперь докажем формулу производной натурального логарифма с помощью правила дифференцирования сложной функции. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то . Дифференцируем это уравнение по переменной x : (10) . Производная от икса равна единице: . Применяем правило дифференцирования сложной функции: . Здесь . Подставим в (10): . Отсюда .

Найти производные от ln 2x, ln 3x и ln nx.

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = ln nx . Затем подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от ln 2x и ln 3x .

Итак, ищем производную от функции y = ln nx . Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций: 1) Функции , зависящей от переменной : ; 2) Функции , зависящей от переменной : . Тогда исходная функция составлена из функций и : .

Найдем производную от функции по переменной x: . Найдем производную от функции по переменной : . Применяем формулу производной сложной функции. . Здесь мы подставили .

Итак, мы нашли: (11) . Мы видим, что производная не зависит от n . Этот результат вполне естественен, если преобразовать исходную функцию, применяя формулу логарифма от произведения: . – это постоянная. Ее производная равна нулю. Тогда по правилу дифференцирования суммы имеем: .

Производная логарифма модуля x

Найдем производную от еще одной очень важной функции – натурального логарифма от модуля x : (12) .

Рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид: . Ее производная определяется по формуле (1): .

Теперь рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид: , где . Но производную этой функции мы также нашли в приведенном выше примере. Она не зависит от n и равна . Тогда .

Объединяем эти два случая в одну формулу: .

Соответственно, для логарифма по основанию a , имеем: .

Производные высших порядков натурального логарифма

Рассмотрим функцию . Мы нашли ее производную первого порядка: (13) .

Найдем производную второго порядка: . Найдем производную третьего порядка: . Найдем производную четвертого порядка: .

Можно заметить, что производная n-го порядка имеет вид: (14) . Докажем это методом математической индукции.

Подставим в формулу (14) значение n = 1: . Поскольку , то при n = 1 , формула (14) справедлива.

Предположим, что формула (14) выполняется при n = k . Докажем, что из этого следует, что формула справедлива при n = k + 1 .

Действительно, при n = k имеем: . Дифференцируем по переменной x : . Итак, мы получили: . Эта формула совпадает с формулой (14) при n = k + 1 . Таким образом, из предположения, что формула (14) справедлива при n = k следует, что формула (14) справедлива при n = k + 1 .

Поэтому формула (14), для производной n-го порядка, справедлива для любых n .

Чтобы найти производную n-го порядка от логарифма по основанию a , нужно выразить его через натуральный логарифм: . Применяя формулу (14), находим n-ю производную: .