Лоренцевская форма линии поглощения. Нормальная и аномальная дисперсия света (продолжение). 2

1 Лоренцевская форма линии поглощения Нормальная и аномальная дисперсия света (продолжение) ℵ= πn f mc Ω + Ω n' = πn f m Ω + Здесь N концентрация атомов, f оптическая сила осциллятора, модуль заряда электрона, m масса электрона, коэффициент пропорциональности в выражении для силы вязкого трения, Ω= расстройка частоты светового поля относительно частоты поглощающего свет перехода В таком случае коэффициент поглощения можно переписать в виде: ℵ fn ℵ=, где ℵ = π mc + Как показывает опыт, относительная ширина спектрального контура 9 6 поглощения очень мала, поэтому контур поглощения обычно называют линией поглощения ℵ Формуле ℵ= соответствует следующая зависимость + коэффициента поглощения от частоты света: Здесь полуширина на полувысоте контура линии поглощения В спектроскопии такой контур рассматривают очень часто Его называют лоренцевским контуром: L ( x) +x

2 Тогда ℵ=ℵ L Рассмотрим теперь зависимость вещественного показателя преломления от частоты Дисперсия света зависимость вещественного показателя преломления от частоты света или от длины волны света Ω Ω ℵλ ' n πnf =, m Ω + 4π + где λ длина волны в вакууме на частоте поглощения, ℵ амплитуда контура поглощения ℵ ' λ n + D 4π, где x D ( x) дисперсионный контур +x Добавка к показателю преломления имеет вид дисперсионного контура dn Как видно из графика, производная почти везде положительна d >, кроме малой окрестности = центра линии поглощения dn Поэтому условие > называют нормальной дисперсией, а условие d dn < называют аномальной дисперсией d Вещество в частотной области прозрачности обладает нормальной дисперсией Аномальная дисперсия света наблюдается только внутри контура линии поглощения

3 Факультатив Лоренцевская форма спектральной линии и дисперсионный контур показателя преломления не зависят от модели атома Томсона Мы получили лоренцевский контур линии поглощения через рассмотрение комплексной поляризуемости атома Томсона Модель атома Томсона не слишком убедительна Не означает ли это, что на самом деле контур линии поглощения не является лоренцевским? Нет Оказывается, что лоренцевская форма линии поглощения получается при весьма общих предположениях относительно механизма излучения и поглощения света атомом Контур линии поглощения повторяет контур линии излучения ℵ ( )

G, что следует из термодинамических соображений теплового равновесия излучения и вещества Эту пропорциональность можно доказать, рассматривая тепловое равновесие вещества и излучения На каждой частоте, сколько света поглощается столько должно и излучаться По этой причине обычно говорят просто о форме спектральной линии, не уточняя, говорят ли о линии излучения или о линии поглощения Для лоренцевской формы линии излучения G = G = G L достаточно экспоненциальной формы + t i зависимости от времени амплитуды излучения атомом t E= E при t> Эту зависимость напряженности светового поля от времени называют световым цугом Экспоненциальная же зависимость связана с тем, что чем меньше энергии остается в атоме, тем слабее его излучение Такой результат получается для широкого класса моделей излучения атома, а не только для модели атома Томсона Кроме того, экспоненциальная зависимость мощности излучения от времени после импульсного возбуждения атомов среды это опытный факт it E E, π π iω Фурье образ этого светового цуга E ( ) = ( t) dt= где Ω= Спектральная плотность поверхностной плотности энергии этого cn излучения G ( ) = π E имеет 8 πµ вид лоренцевского контура от +

4 расстройки Ω частоты светового поля относительно резонансной частоты атома: G = G = G L Заметим, что для атома Томсона уравнение движения центра масс электронной оболочки ɺɺ q it r + rɺ + r = Ep в нулевом световом поле m E = приобретает следующий вид ɺɺ r + rɺ + r = Это уравнение затухающих колебаний, амплитуда которых спадает во t времени, как t i, то есть в комплексном виде зt r= r, где з = частота затухающих колебаний Обычно <<, тогда з Дипольный момент атома p пропорционален смещению центра масс электронной оболочки r p= ( q) r Напряженность светового поля излучения диполя пропорциональна второй производной по времени от дипольного момента и пропорциональна ускорению E

ɺɺ r Если <<, то ɺɺ r r, и напряженность светового поля излучения атома Томсона, как функция времени имеет вид светового цуга: t i t E= E Следовательно, спектр излучения атома Томсона G = G = G L имеет лоренцевский вид с шириной на половине + высоты равной, как и у контура линии поглощения ℵ=ℵ L Заметим, что дисперсионный контур зависимости показателя преломления от частоты определяется лоренцевским контуром коэффициента поглощения от частоты Эта связь определяется соотношением Крамерса- Кронига, которое мы обсудим чуть позднее Однородная (лоренцевская) и неоднородная (доплеровская) ширина спектральной линии ℵ совпадает с Форма спектрального контура линии поглощения ( ) cn = E 8 πµ формой спектрального контура линии излучения ( ) G π

5 спектральной плотности поверхностной плотности энергии По этой причине будем говорить просто о контуре спектральной линии Если молекул (или атомов) много, то движение молекул изменяет ширину и форму спектральной линии Есть две основных причины изменения ширины и формы спектральной линии Обе причины легче анализировать на примере газообразной фазы вещества Одна причина состоит в том, что для газов ширина спектральной линии на половине высоты зависит от давления газа Дело в том, что это скорость затухания светового цуга излучения отдельной молекулы t i t E= E Все столкновения молекул уширяют Фурье образ светового цуга В результате увеличивается ширина линии излучения усредненной молекулы Это так называемое однородное уширение спектральной линии: G G = L, где L ( x) лоренцевский контур, ширина на полувысоте +x спектрального контура Коротко рассмотрим, как столкновения молекул влияют на величину = Здесь частота спонтанных переходов одной молекулы с верхнего уровня на нижний уровень, какой она была бы, если бы после такого перехода молекула сразу снова оказывалась бы на верхнем уровне энергии, частота столкновений молекул с изменением внутренней энергии молекулы (с переходом с одного уровня энергии на другой уровень), частота столкновений с изменением фазы колебаний диполя молекулы, 3 частота столкновений с изменением ориентации молекулярного диполя Вторая причина изменения ширины и формы спектральной линии это эффект Доплера, который приводит к так называемому неоднородному уширению спектральной линии Рассмотрим эту причину подробнее Если излучающая молекула летит навстречу наблюдателю, то принимаемая наблюдателем частота сдвинута эффектом Доплера С учетом только продольного эффекта Доплера получим = ' + kvz, здесь частота света в системе отсчета наблюдателя или, как говорят, в лабораторной системе отсчета; ' частота света в системе отсчета π излучающей молекулы, k= волновое число, V z проекция скорости λ молекулы на направление света Распределение Максвелла по проекции скорости имеет следующий вид:

6 Vz N N U V dv z z = dvz, U π где N концентрация молекул; проекция скорости которых лежит в диапазоне от z NV dv z z концентрация молекул, k V до Vz + dvz ; Б T U = m наиболее вероятная скорость молекул Каждая молекула излучает спектральную линию, форма которой имеет лоренцевский вид в ее собственной системе отсчета G ' = G, ' + что в лабораторной системе отсчета можно записать, как G = G kv z + Складывая эти спектральные контуры с весовыми множителями, пропорциональными концентрации молекул в интервале скоростей от V z до Vz + dvz, получим суммарный контур излучения газа: + V z G

N G U dv z kv U π z + Здесь постоянный множитель I N можно отбросить Тогда U π + V z G

U dv z kv z + Эту форму спектральной линии называют контуром Фойхта Если << ku, то лоренцевский контур с шириной в шкале частот это очень узкий контур, и в интеграле он играет роль δ -функции Дирака kv

7 V z Второй сомножитель U можно вынести из-под интеграла при таком значении V z, при котором аргумент δ -функции равен нулю Дело в том, что в остальных точках δ-функция равна нулю, и величина второго сомножителя несущественна, поэтому можно положить, что второй сомножитель постоянная величина равная значению второго сомножителя при таком V z, при котором аргумент δ -функции равен нулю Под интегралом при этом останется δ -функция, интеграл от которой по определению равен единице Приравниваем аргумент δ -функции нулю: kv z k = => V z = => V z U ku = => G

ku => G G ku = это и есть доплеровский контур спектральной линии Ширина этого контура в шкале частот на уровне равна = ku В заключении повторим, что спектральный контур линии поглощения или излучения каждой одиночной молекулы или атома это контур лоренцевской формы: G = G + Ширина этого контура на половине его высоты равна это однородная ширина спектральной линии Если однородная ширина линии мала по сравнению с доплеровским сдвигом частоты связанным с тепловым движением молекул, то спектральная линия имеет доплеровский контур: G G ku = Ширина доплеровского контура на уровне равна ku это π неоднородная ширина спектральной линии, где k= волновое число, λ k Б T U = наиболее вероятная скорость молекул m

8 В случае, когда однородная и неоднородная ширины спектральной линии это величины одного порядка, контур спектральной линии имеет фойхтовскую форму: + V z U kvz G

dvz + В любом случае контур линии поглощения повторяет контур линии излучения ℵ ( )

I Факультатив Дисперсионные соотношения Крамерса-Кронига Пусть единственное окно в комнате закрыто узкополосным светофильтром, который пропускает свет только с частотой Строго монохроматический свет обязан быть по времени от минус до плюс бесконечности Это с одной стороны С другой стороны, если свет за окном в какой-то момент включить, то в комнате свет не может появиться раньше этого момента независимо от того, насколько узкополосный светофильтр закрывает окно n', которая Это условие накладывает связь на функции ℵ ( ) и ( ) должна выполняться независимо от природы светофильтра Пусть τ( ) амплитудный коэффициент пропускания светофильтра Тогда комплексные амплитуды света на входе и на выходе светофильтра связаны соотношением: E ( ) = τ( ) E ( ) вых вх Рассмотрим бесконечно короткую вспышку света перед светофильтром в виде δ -функции Дирака: E вх( t ) =δ ( t ) Ее Фурье-образ комплексная амплитуда света на входе светофильтра: it it i E ( ) = ( ) ( ) ( ) вх вх t dt δ t dt δ t dt π E = π = π = π Комплексная амплитуда на выходе светофильтра: E ( ) = τ( ) E ( ) = τ( ) вых вх π Тогда напряженность светового поля на выходе светофильтра, как функция времени имеет следующий вид: + i t i t вых( t ) ( ) R ( ) E d + E d E = = = вых вых

9 + + it it = R τ( ) d = R τ( ) d π π До момента времени t=, в который произошла вспышка света перед фильтром, света после светофильтра быть не должно E вых( t ) = Следовательно, при t< : + R it τ( ) d = Если светофильтр представляет собой однородную среду толщиной z, то амплитудный коэффициент пропускания такой среды имеет вид: ℵ( ) z n '( ) i z τ( ) = c Тогда получим + ℵ( ) z n '( ) i z R c it d = при t< Этим интегральным соотношением связаны коэффициент поглощения n' любой среды ℵ ( ) и ее вещественный показатель преломления ( ) В свою очередь, с величинами n' ( ) и ℵ ( ) = n'' ( ) связаны c вещественная α '( ) и мнимая α ''( ) части комплексной поляризуемости атома Эта связь оказывается проще для малой концентрации атомов n= + πnα или n' + in'' = + πn ( α ' + iα '') Крамерсу и Кронигу удалось выразить из интегрального соотношения ' α '' и наоборот: одну функцию α ( ) через другую ( ) ( ) + α '' α '( ) = P d π соотношения Крамерса-Кронига + α '( ) α ''( ) = P d π Здесь P интеграл в смысле главного значения Причина неравенства n> в области прозрачности среды Обсудим теперь неравенство n>, которое практически всегда справедливо в частотной области прозрачности вещества Рассмотрим уровни энергии произвольного атома

10 Обычно атом находится на нижнем уровне энергии E Поглотив квант света, атом может перейти с этого уровня на один из более высоких уровней энергии Разность энергий уровней равна энергии кванта света и связана с его частотой : ħ = E E k k Частоты переходов k это и есть резонансные частоты колебаний электронной оболочки в модели атома Томсона, которые входят в выражение для комплексной поляризуемости атома: fk m α = k k i k Энергии электрона, привязанного к атому, дискретные и отрицательные При приближении к нулевой энергии уровни энергии сгущаются Около нулевой энергии находится бесконечное число отрицательных дискретных уровней энергии Положительные энергии электрона соответствуют отрыву электрона от атома ионизации атома Для положительных энергий возможны все значения в непрерывном диапазоне от нуля до бесконечности В таком случае спектр поглощения атома или зависимость коэффициента поглощения среды от частоты имеет следующий вид: Частотная область прозрачности среды любая область частот вдали от линий поглощения Как видно из рисунка, для любой частоты света в области прозрачности справа от выбранной частоты всегда много линий поглощения, а слева мало

11 Рассмотрим влияние одной линии поглощения, расположенной справа k>, на показатель преломления Из неравенства k > следует, что расстройка частоты света относительно частоты поглощающего свет перехода отрицательная: Ωk k < Тогда Ωk k Ω k + k n ' = πnf > m Отсюда следует положительный вклад n ' > в показатель преломления от линии поглощения, которая расположена справа от рассматриваемой частоты света Поскольку справа линий много, то их суммарный вклад в показатель преломления больше, чем вклад линий, расположенных слева, и этот вклад положительный В результате показатель преломления сдвигается от единичного значения без среды в сторону увеличения Поэтому в области прозрачности среды: n ' > Исключением из правила являются области частот, где одна из левых линий поглощения k< достаточно близка к рассматриваемой частоте света, так чтобы ее отрицательный вклад в показатель преломления n ' < пересилил положительные вклады всех правых линий поглощения Рассмотрим порядок величины вклада в коэффициент поглощения и вклада в показатель преломления при относительно больших расстройках x частоты света относительно линии поглощения k Ω x= = k >> k k Вдали от линии поглощения при больших значениях x получаем ℵ

+ x x добавка к коэффициенту поглощения ℵ

пренебрежимо мала при x условии x, и среда прозрачна, а добавка к показателю преломления ( n' )

значительно больше, и поэтому, показатель преломления заметно x отличается от единицы в частотной области прозрачности среды Оптика плазмы Плазма это ионизованный газ Например, в газоразрядных лампах дневного света светится плазма Ионизация газа происходит под ударами

12 электронов, которые разгоняются электрическим полем Плазма содержит газ нейтральных атомов, электроны и положительные ионы Ионы в тысячи раз тяжелее электронов и под действием электрического поля световой волны почти не смещаются Взаимодействие света с плазмой это в основном взаимодействие со свободными электронами плазмы Свободный электрон можно рассматривать, как предельный случай электрона в атоме, если считать, что возвращающая сила со стороны ядра атома равна нулю 4πρq В модели атома Томсона квадрат резонансной частоты был 3m введен, как величина пропорциональная отношению возвращающей силы к смещению от положения равновесия Если возвращающая сила равна нулю, то и резонансная частота тоже равна нулю = Тогда вместо комплексной f m поляризуемости атома α = получим i m α = поляризуемость свободного электрона на частоте + i светового поля Сила осциллятора f для свободного электрона равна единице, так как эта величина имеет смысл числа электронов электронной оболочки атома, участвующих в резонансном колебании Обычно потери на излучение за один период резонансной частоты атома 9 6 малы, тогда << В случае свободного электрона << В результате можно отбросить второе слагаемое в знаменателе выражения для поляризуемости свободного электрона на частоте светового поля и получить α = m Рассмотрим формулу Клаузиуса-Моссотти: ε 4 = π 3 N α, ε + считая, что диэлектрическая проницаемость среды ε и поляризуемость α комплексные величины, зависящие от частоты электрического поля Нелинейная зависимость диэлектрической проницаемости ε от поляризуемости α вызвана отличием электрического поля E, действующего на молекулу, от среднего поля в среде В плазме электроны свободно перемещаются в пространстве, поэтому считают, что отличия действующего поля от среднего поля нет Для нейтральных газов отличием двух полей можно

13 пренебречь при малой концентрации N молекул Для малой концентрации молекул ε, тогда ε + 3 и ε 4 π 3 3 N α => ε + 4πNα Для свободных электронов плазмы тоже будем считать, что ε + 4πNα, только при этом концентрация электронов N не обязана быть малой величиной Учтем, что n = ε, и получим n + 4πNα Подставим сюда выражение для поляризуемости свободных электронов α = и получим m 4πN n = m Это равенство можно переписать в виде: n п =, где коэффициент при обозначен, как 4 п πn, и называется m квадратом плазменной частоты, так как имеет размерность квадрата частоты Взаимодействие плазмы со световым полем существенно различается в двух спектральных диапазонах: если частота света меньше плазменной частоты < п и если частота света больше плазменной частоты > п В первом диапазоне световых частот < п получим, что квадрат показателя преломления является отрицательной величиной: п n = < Тогда сам показатель преломления чисто мнимая величина n= in'' Коэффициент поглощения среды связан с мнимой частью показателя преломления соотношением ℵ= n'' c Следовательно, плазма поглощает свет с частотой ниже плазменной частоты Во втором диапазоне световых частот > п получим: n п = >

14 и показатель преломления вещественная величина Отсутствие мнимой части означает отсутствие поглощения ℵ= n'' = c Следовательно, плазма прозрачна для света с частотой выше плазменной частоты