14. Выражение стороны правильного n-угольника через радиус описанной. 15. Квадрат. Формулы площади, радиусов вписанной и описанной окружности.

14. Выражение стороны правильного n-угольника через радиус описанной. 15. Квадрат. Формулы площади, радиусов вписанной и описанной окружности.

1 8. Координаты середины отрезка. 9. Формула длины вектора. 30. Расстояние между двумя точками. 3. Угол между векторами. 3. Скалярное произведение векторов. 33. Скалярный квадрат. 34. Условие перпендикулярности двух векторов. 35. Скалярное произведение векторов с заданными координатами. 36. Косинус угла между векторами. 37. Свойства скалярного произведения. 38. Уравнение прямой. 39. Угол между прямыми. 40. Угол между прямой и плоскостью. Стереометрия IV Тела вращения. Цилиндр.. Площадь поверхности цилиндра. 3. Конус. 4. Площадь поверхности конуса. 5. Сфера и шар. 6. Взаимное расположение сферы и плоскости. 7. Площадь сферы. 8. Объѐм призмы. 9. Объѐм цилиндра. 0. Объѐм пирамиды.. Объѐм конуса.. Объем шара. Вопросы для повторения по планиметрии.. Сумма углов треугольника.. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника. 3. Признаки равенства треугольников. 4. Признаки подобия треугольников. 5. Теорема Пифагора. Теорема, обратная теореме Пифагора. 6. Теорема косинусов. 7. Теорема синусов. 8. Определение тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника. 9. Значения тригонометрических функций углов 30, 45 и Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник.. Теорема о центре окружности, описанной около треугольника.. Свойство четырѐхугольника, вписанного в окружность, и обратная теорема. 3. Свойство четырѐхугольника, описанного около окружности, и обратная теорема. 4. Выражение стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности. 5. Квадрат. Формулы площади, радиусов вписанной и описанной окружности. 6. Прямоугольник. Формулы площади, радиуса описанной окружности. 7. Прямоугольный треугольник. Формулы. 8. Равносторонний треугольник. Формулы. 9. Произвольный треугольник. 0. Окружность, описанная около равнобедренного треугольника.. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник.. Параллелограмм. 3. Ромб. 4. Трапеция. 5. Правильный шестиугольник. 3

2 Ответы для повторения по планиметрии равны. 3. )Если две стороны и угол, заключѐнный между ними одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу, заключѐнному между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. )Если сторона и два прилежащих к ней угла 3)Если три стороны 4. )Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны. )Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключѐнные между ними равны, то. 3)Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Обратная теорема: если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. 6. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. c = a + b ab cos C, a =, b = Свойства: ) для параллелограмма d + d = a + b. ) m медиана треугольника, проведѐнная к стороне c: mc a b c. 7. Стороны треугольников пропорциональны синусам противолежащих углов. R sin A sin B sin C а b c 8. Синус острого угла прямоугольного треугольника это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему. Стереометрия III Координаты и векторы в пространстве. Вектор. Нулевой вектор.. Длина вектора. 3. Коллинеарные векторы. Сонаправленные и противоположно направленные. 4. Равные векторы. Противоположные векторы. 5. Сложение векторов. Правило треугольника, правило параллелограмма, правило многоугольника, правило параллелепипеда. 6. Свойства сложения векторов. 7. Разность векторов. 8. Правила вычитания. 9. Произведение вектора на число. 0. Свойства умножения вектора на число.. Условие коллинеарности двух векторов.. Компланарные векторы. 3. Свойства компланарных векторов. 4. Условие компланарности вектором. 5. Разложение вектора. 6. Формула для середин отрезков. 7. Формула для точки пересечения медиан треугольника. 8. Формула для точки пересечения центроид тетраэдра. 9. Определение прямоугольной системы координат в пространстве. 0. Координаты точки.. Координатные векторы.. Координаты вектора. 3. Свойства координат вектора. 4. Действия с векторами в координатах: сложение, вычитание, умножение вектора на число. 5. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. 6. Радиус-вектор. 7. Вычисление координат вектора. 3

3 Развѐртка цилиндра Тела вращения Цилиндр Осевое сечение цилиндра А O B 9. sin r π r S = S б.п. + S осн. Н 30 V = π r H S = π rh + π r ОО ось цилиндра V = S осн. H Развѐртка конуса l 360 π r Конус Осевое сечение конуса H r радиус основания l образующая S б.п. = π rl Н высота Усечѐнный конус S п.п. = π r l + π r V = ⅓S осн. Н S бок. = π (r + r )l l V = ⅓ π r H S полн. = π(r + r )l + π(r + r ) Шар и сфера V = ⅓πH(r + r + rr ) О V = 4/3πR 3 V = ⅓H(S + S + SS ) S = 4πR R О К О D O l r r C 0. Три биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка является центром вписанной окружности.. Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка является центром описанной окружности.. Если четырѐхугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 80. Обратная теорема: если сумма противоположных углов четырѐхугольника равна 80, то около него можно описать окружность. 3. Если четырѐхугольник описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны. Обратная теорема: Если суммы противоположных сторон выпуклого четырѐхугольника равны, то в четырѐхугольник можно вписать окружность an Rsin, a3 R 3, a4 R, a6 R. n cos tg a a S a, r, R. S ab R a b, +. S ab, S chc, S pr, где p a b c, R c, r a b c, h acbc,, a acc, b bcc. a 3 a 3 S, r R, a3 R 3, h. 4 3

4 9. АМ биссектриса треугольника АВС: ВМ АВ CM AC, АМ АВ АС ВМ МС. S abc bhb, S bcsin, S pr, где p a b c, S=, 4R S p p a p b p c, S 4a b a b c 4 0. О - центр описанной окружности. ОС = R, МСО

DСA, R MC AC CD Куб Объем призмы Прямоугольный параллелепипед а а b а Прямая призма V V V 3 a S abh осн. h h V накл. V прям. ah H S осн. H. O центр вписанной окружности.) Из Δ AOD: AC AD ) Δ AСD:. OC OD r tg OAD. AD. S=ab sin α, S=ah a S ah S a S d d r h, sin. MN a b, S a b h. Объем пирамиды V 3 S осн. h 5. S 6 3a

5 Координаты вектора в пространстве (продолжение) I. Задачи по планиметрии. A( ; y ; z ), B( ; y ; z ) => AB < ; y y ; z z >, AB y y z z y y z z C(; y; z) середина отрезка АВ, y, z 0 y y0 z z0 Уравнение прямой c направляющим вектором p , проходящей через точку А(х 0 ; y 0 ; z 0 ) l m n Угол между прямыми с направляющими векторами p < ; y ; z >и q < ; y ; z >a,b, p,q, если θ 90, то φ = θ; если θ 90, то φ = 80 θ. Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки, равные 4 и 54см. Найти катеты треугольника.. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 5.Чему равно расстояние от вершины прямого угла до центра вписанной в этот треугольник окружности? 3. Один катет прямоугольного треугольника равен 6, медиана, опущенная на этот катет равна 5. Найти гипотенузу. 4. Чему равен острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника? 5. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4.Чему равен радиус окружности, проходящей через вершину прямого угла, середину большего катета и вершину противолежащего острого угла? cos y z y y z z y z II. 6. Определить вид треугольника и найти косинус наибольшего угла, если стороны треугольника равны: а) 6, 7, 9; б) 7, 4, 5; в) 3, 5, 34. Угол между прямой с направляющим вектором p < ; y ; z >и плоскостью с перпендикулярным вектором n < ; y ; z >sin y z y y z z y z 7. В треугольнике АВС отрезок, соединяющий середины сторон АВ и ВС равен 3. АВ = 7, угол С равен 60. Найти ВС. 8. В треугольнике АВС АС =, АВ = 3, ВС = 4, BD высота. Найти CD. 9. В треугольнике со сторонами 3, 4 и 6 проведена медиана к большей стороне. Найти косинус угла образованного медианой с меньшей стороной. 0. Найти радиус окружности, описанной около треугольника со 8 5

6 сторонами 5, 7, 3.. Катеты прямоугольного треугольника 3 и 4. Найти радиус окружности, проходящей через вершины острых углов и середину большего катета.. В окружности радиуса проведена хорда АВ =. М некоторая точка окружности. Найти угол АМВ. 3. Хорда АВ видна из центра окружности под углом 48. М точка на меньшей дуге. Найти угол АМВ. 4. Дан квадрат со стороной. Найти радиус окружности, проходящей через одну из вершин квадрата, середину одной из сторон, не содержащих этой вершины, и центр квадрата. 5. Найти расстояние от точки пересечения медиан треугольника до его вершины, если стороны треугольника равны 5, 6 и Точка М точка пересечения медиан треугольника АВС. В каком отношении делит медиану выходящую из вершины В прямая, проходящая через С и середину отрезка АМ. 7. В треугольнике АВС проведены высоты АА и ВВ. Найти АС, если а) АА = 4, ВВ = 5 и ВС = 6; б) А С = 8, В С = 5 и ВВ =. 8. В треугольнике АВС: АВ = 7, АС = 8 и угол А равен 0. Найти расстояние от основания высоты, опущенной на АС, до середины стороны ВС. 9. Стороны треугольника равны, 3, 4. Найти а) длины отрезков, на которые разделена средняя сторона треугольника биссектрисой противоположного угла; б) длину биссектрисы. 0. Найти углы треугольника, если две его стороны видны из центра вписанной окружности под углами 0 и 6. Координаты вектора в пространстве абсцисса, ордината, аппликата O(0; 0; 0), A(; y; z), OA a a х i сравнение сложение a радиус-вектор точки А y j y a a z k z a ; y; z Действия: b, a z z b c, c вычитание a b d, d, y y, z z умножение на число ka m, m k, k y, k z a и b y z коллинеарные y z Скалярное произведение ) a b a b ; 6) a b a b ; 3) a b с a b a с ; 7) a b a b 0. 4) a a ; ; y; z, b ; y; z, y y,, y y, z z a b y y zz a b cos a, b Свойства: ) a b b a ; 5) a b a a b b ;. В треугольнике АВС угол В равен 60, радиус описанной около треугольника окружности. Найти радиус окружности, проходящей через точки А, С и центр окружности, вписанной в треугольник АВС. a,b, cos y z y y z z y z 6 7

7 Умножение вектора на число. b kа ) k 0, b k a и b a ) k 0, b k a и b a Условие коллинеарности a и b, a 0 k, b ka Свойства ) a и kа коллинеарные ) 3) kl a k la (сочетательный) 4) k a b ka kb (I распределительный) 5) ( k l) a ka la (II распределительный) 6) 0a 0 а а Векторы II 6 a a, b, c компланарные Свойства ) a и b коллинеарные a, b, c компланарные ) a 0, a, b, c компланарны 3) a и b компланарны 4) a, b, c компланарны / a, b, c Условие компланарности b a, b, c компланарны c a yb Разложение вектора по трѐм некомпланарным векторам p В p a yb zc С b c.m середина АВ, N середина CD, О произвольная точка О Р ОМ ОА ОВ, MN AC BD. М точка пересечения медиан АВС ОМ 3 ОА ОВ ОС 3. М точка пересечения центроид тетраэдра ABCD OM 4 OA OB OC OD Р Р a А c. Стороны треугольника 5, 6, 7. Найти: а) отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник; б) сами эти отрезки. 3. Площадь треугольника равна 5. Две его стороны 3 и 4. Найти площади треугольников, на которые он делится биссектрисой угла между этими сторонами. 4. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты точки K, L и M, так, что АК = КВ, BL = 3LC, 3СМ = МА. Найти площади треугольников АКМ, BKL, CLM и KLM. III. Координатный метод в планиметрии. 5. В выпуклом пятиугольнике ABCDE с единичными сторонами середины P и Q сторон АВ и CD и S, T сторон ВС и DE соединены отрезками PQ и ST. Пусть М середина PQ, а N середина ST. Найти длину MN. 6. В равнобедренном треугольнике АВС основание АС равно, высота ОВ равна 4. Найти длину медианы, проведѐнной из вершины А. 7. В равнобедренном треугольнике РКН медиана КМ, проведѐнная к основанию, равна 8. Найти длину медианы, проведѐнной из вершины Н, если НР=0. 8. В треугольнике АВС проведена высота ВН. Найти длину медианы, проведѐнной из вершины А, если угол АВН равен 45, ВН = 6, НС = В треугольнике АВС АВ = 4, АС = 6, угол А равен 60. Найти медиану АМ. 30. В ромбе MTHD точка К принадлежит диагонали TD, TK:KD = :, точка Е делит HD пополам. Доказать, что К принадлежит МЕ и делит его в отношении к. 7

8 Графическая работа Сделать чертежи с данными в задачах обозначениями..прямая МР лежит в плоскости α..прямая АВ пересекает плоскость α в точке М. 3.Плоскость α проходит через прямую а и точку М, не лежащую на прямой а, и пересекает прямую b в точке М. 4.Прямые МС и МВ пересекают плоскость β в одной и той же точке. 5.Прямые МС и МВ пересекают плоскость γ в разных точках. 6.Прямые а и b, изображѐнные на рисунке параллельными, на самом деле не параллельны. 7.Прямые а и b, изображѐнные на рисунке пересекающимися, на самом деле не имеют общих точек. 8.Плоскости α и β имеют общую прямую а и пересекают прямую КМ соответственно в точках К и М. 9.Плоскости α и β пересекаются по прямой с, а плоскости α и γ также пересекаются по этой же прямой с. 0.Плоскости α и β пересекаются по прямой МР, а плоскости α и γ пересекаются по другой прямой МТ..Прямые а, b и с имеют общую точку О и лежат в одной плоскости..прямые а, b и с имеют общую точку О, но не существует плоскости, в которой лежат все эти три прямые. 3.Плоскости α, β и γ имеют единственную принадлежащую всем трѐм плоскостям точку О. 4.Прямые АВ и МТ таковы, что А не лежит в плоскости ВМТ, а точка В не лежит на прямой МТ. 5.На прямой а, пересекающей плоскость α в точке А, выбраны по разные стороны от А точки М и Т. Прямые ММ и ТТ параллельны между собой и пересекают плоскость α соответственно в точках М и Т. 6.Две вершины треугольника АВС лежат в плоскости α, а вершина С не лежит в α. Прямая d пересекает стороны СВ и СА соответственно в точках М и Т, а плоскость α в точке К. 8 АВ а, А - начало, В конец, AB AB AA нулевой, AA 0 Коллинеарные: ) сонаправленные ) противоположно направленные АВ B A Равные, АD ВC и АD ВC, Сложение АD ВC : Векторы I Свойства сложения векторов ) переместительный a b b a ) сочетательный 3) ВC АD, ) Правило треугольника AB BC AC ) Правило параллелограмма AB AD AC 3) Правило многоугольника AC CC CB B A AA 4) Правило параллелепипеда АВ АD АА АС a 0 0 a a 5 Противоположные АВ B A и АВ B A, Разность Свойства ) ) А А В a b c a b c АВ B A : a b c, a c b AC AB BC a b a b D С B C D

9 Октаэдр Икосаэдр Тетраэдр Куб Додекаэдр Графическая работа Сделать чертежи с данными обозначениями..прямая МР параллельна плоскости α, а прямая МТ пересекает эту плоскость в точке Т..Плоскость α пересекает три параллельные прямые а, b и с соответственно в точках А, В и С, лежащих на одной прямой. 3.Плоскость α пересекает три параллельные прямые а, b и с соответственно в вершинах ΔАВС. 4.Основание АD трапеции АВСD лежит на плоскости α, а прямые ВК и КС пересекают эту плоскость соответственно в точках В и С. 5.Плоскость α проходит через середины сторон АВ и АС треугольника АВС и не содержит вершины А. 6.Прямая МР параллельна плоскости α, а плоскость РМТ пересекает плоскость α по прямой КТ. β. 7.Прямая а параллельна каждой из пересекающихся плоскостей α и 8.Прямая а параллельна каждой из параллельных плоскостей α и β. 9.Плоскости α и β имеют общую прямую а, плоскости α и γ общую прямую b, а плоскости β и γ общую прямую с. Прямые а и b пересекаются в точке М. 0.Плоскости α и β имеют общую прямую а, плоскости α и γ общую прямую b, а плоскости β и γ общую прямую с. Прямые а и b параллельны..плоскости α и β имеют общую прямую а, плоскости α и γ общую прямую b, а плоскости β и γ параллельны..сторона ВС треугольника АВС лежит на плоскости α, через вершину А, не лежащую в плоскости, и точку М середину стороны АС проведены соответственно плоскости β и γ, пересекающие плоскость треугольника АВС по прямым АК и МТ. 4 9

10 Стереометрия I Вопросы. Предмет стереометрии. Основные фигуры в пространстве.. Аксиомы стереометрии. 3. Параллельные прямые в пространстве. 4. Теорема о параллельных прямых. 5. Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. 6. Параллельность трѐх прямых (признак). 7. Способы задания плоскости. 8. Взаимное расположение прямой и плоскости. 9. Признак параллельности прямой и плоскости. Свойства параллельности прямой и плоскости. 0. Определение скрещивающихся прямых. Признак скрещивающихся прямых.. Теорема о скрещивающихся прямых.. Сонаправленные лучи. 3. Теорема об углах с сонаправленными сторонами. 4. Угол между прямыми. 5. Параллельность плоскостей. 6. Признак параллельности плоскостей. 7. Свойства параллельности плоскостей. 8. Тетраэдр и его элементы. 9. Параллелепипед и его элементы. 0. Свойства параллелепипеда.. Понятие секущей плоскости.. Сечение тетраэдра (параллелепипеда). 0 3

11 Стереометрия II Ответы по стереометрии I..Стереометрия это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основные фигуры в пространстве точка, прямая и плоскость.. А. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. А. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. А 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. 3. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. 4. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. 5. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. 6. Если две прямые параллельны третей прямой, то они параллельны. 7. ) три точки; ) прямая и не лежащая на ней точка; 3) две пересекающиеся прямые; 4) две параллельные прямые. 8. ) прямая лежит в плоскости; ) прямая и плоскость имеют одну общую точку, т. е. пересекаются; 3) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки, т. е. параллельны. 9. Признак. Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какойлибо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна плоскости. Свойства. ) Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает данную плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. ) Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в данной плоскости. 0. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

12 . Свойства. ) Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой, и притом только одна. ) Для любых двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр.. Два луча, не лежащие на одной прямой, называют сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей, содержащей их начала. Два луча, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой. 3. Углы с сонаправленными сторонами равны. 4. Наименьший из углов образованных пересекающимися прямыми является углом между прямыми. Углом между скрещивающимися прямыми является угол между прямыми проходящими через произвольную точку параллельно данным. 5. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. 6. Признак. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. 7. Свойства. )Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. ) Отрезки параллельных прямых, заключѐнные между параллельными плоскостями, равны. 3)Если каждая из двух плоскостей параллельна третьей, то они параллельны между собой. 8. Четыре точки, не лежащие в одной плоскости, соединѐнные отрезками, образуют четыре треугольника, ограничивающие часть пространства, называемую тетраэдром. метрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно неѐ некоторой точке той же фигуры. 3. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число рѐбер. 9. Два равных параллелограмма расположены в параллельных плоскостях. А отрезки, соединяющие их вершины, равны и параллельны, и образуют четыре парал-

13 квадратов трѐх его измерений.. Многогранник поверхность, состоящая из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. 3. Многогранник, составленный из равных n-угольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой. Основания n-угольники, боковые грани параллелограммы, рѐбра их стороны. Призма называется прямой, если боковые рѐбра перпендикулярны к основаниям, в противном случае наклонной. S полн. = S бок. + S осн. Для прямой призмы S бок. = Ph.. Пирамида многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников с общей вершиной. Основание n-угольник, боковые грани треугольники, рѐбра их стороны, общая вершина треугольников вершина пирамиды. Перпендикуляр, проведѐнный из вершины пирамиды на плоскость основания высота пирамиды. S полн. = S бок. + S осн. лелограмма. Часть пространства, ограниченная этими параллелограммами, называется параллелепипедом. 0. Свойства. ) Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. ) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.. Любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда), называют секущей плоскостью тетраэдра (параллелепипеда).. Многоугольник, сторонами которого являются отрезки пересечения секущей плоскости с гранями тетраэдра (параллелепипеда), называется сечением тетраэдра (параллелепипеда).. Пирамида называется правильной, если еѐ основание правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является еѐ высотой. Боковые рѐбра равны, боковые грани равнобедренные треугольники. Апофема высота боковой грани. 3. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. 4. Секущая плоскость пирамиды, параллельная основанию, разбивает пирамиду на два многогранника: пирамиду и усечѐнную пирамиду. Основания усечѐнной пирамиды n-угольники, расположенные в параллельных плоскостях. Боковые грани - n четырѐхугольников. Площадь боковой поверхности сумма площадей еѐ боковых граней. 5. Точки А и А симметричны относительно точки О (центр симметрии), если О середина отрезка АА. 6. Точки А и А симметричны относительно прямой а (ось симметрии), если прямая а проходит через середину отрезка АА перпендикулярно к нему. 7. Точки А и А симметричны относительно плоскости α (плоскость симметрии), если эта плоскость проходит через середину отрезка АА перпендикулярно к нему. Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) сим- 0 3

14 Стереометрия I. Если из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонные, то ) перпендикуляр короче наклонной, ) равные наклонные имеют равные проекции, 3) большей наклонной соответствует большая проекция, 4) из двух наклонных больше та, проекция которой больше. 3. Прямая проведѐнная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к еѐ проекции, перпендикулярна и самой наклонной. Обратно: прямая, проведѐнная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и еѐ проекции. 4. Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведѐнного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости. Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и еѐ проекцией на плоскость. 5. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости грани, прямая а ребро двугранного угла. 6. Угол с вершиной на ребре двугранного угла и сторонами, лежащими в каждой грани перпендикулярно к ребру, называется линейным углом двугранного угла. Градусная мера двугранного угла это градусная мера его линейного угла. 7. Опр. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен Признак. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. 9. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые рѐбра перпендикулярны основанию, а основания прямоугольники. 0. ) В прямоугольном параллелепипеде все 6 граней прямоугольники. ) Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме 4 9

15 Ответы по стереометрии II.. Опр. Прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними равен 90.. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. 3. Опр. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. 4. ) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. ) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. 5. Признак. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. 6. ) Через данную точку проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости. ) Через данную точку проходит единственная плоскость перпендикулярная данной прямой. 3) Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны. 4) Если прямая и плоскость перпендикулярны одной прямой, то они параллельны. 7. АВ перпендикуляр, АС наклонная, ВС проекция наклонной, С основание наклонной, В основание перпендикуляра. 8. длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. 9. расстояние от произвольной точки прямой до плоскости. 0. расстояние от любой точки одной из параллельных плоскостей до другой.. расстояние между одной прямой и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой. 8 5

16 Стереометрия II Вопросы. Перпендикулярные прямые.. Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третей прямой. 3. Определение прямой, перпендикулярной к плоскости. 4. Свойство параллельных прямых и перпендикулярной к ним плоскости. 5. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. 6. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости. 7. Перпендикуляр, наклонная, проекция наклонный. Соотношение длин перпендикуляра и наклонной. 8. Расстояние от точки до плоскости. 9. Расстояние между прямой и параллельной еѐ плоскостью. 0. Расстояние между параллельными плоскостями.. Расстояние между скрещивающимися прямыми.. Свойство наклонных и их проекций. 3. Теорема о трѐх перпендикулярах и обратная ей теорема. 4. Угол между прямой и плоскостью. 5. Двугранный угол. Грани и ребро двугранного угла. 6. Линейный угол двугранного угла. Градусная мера двугранного угла. 7. Определение перпендикулярных плоскостей. 8. Признак перпендикулярности плоскостей. 9. Определение прямоугольного параллелепипеда. 0. Свойства прямоугольного параллелепипеда.. Теорема о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда.. Определение многогранника. 3. Призма: определение, основание, вершина, боковые грани и рѐбра, высота. Боковая и полная поверхность призмы. 4. Пирамида. 5. Правильная пирамида. Апофема. 6. Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды. 7. Усечѐнная пирамида. 8. Симметрия относительно точки. 9. Симметрия относительно прямой. 30. Симметрия относительно плоскости. 3. Правильные многогранники. 6 7

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎