Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение и формулы линейных неоднородных ДУ 2-ого порядка

Здесь – некоторые константы.

Решение дифференциальные уравнения второго порядка

Решение уравнения (2) ищется в виде:

После подстановки этого решения в уравнение (2) получаем алгебраическое уравнение

Это квадратное уравнение называется характеристическим уравнением, соответствующим однородному дифференциальному уравнению (2).

В результате решения характеристического уравнения, возможны следующие варианты:

1) корни характеристического уравнения – различные действительные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

2) корни характеристического уравнения – равные действительные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

3) корни характеристического уравнения – комплексно сопряженные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

Примеры решения задач

Его корни (их можно найти, например, либо с использованием дискриминанта, либо по теореме Виета). Поскольку корни характеристического уравнения действительны и различны, то решение заданного однородного дифференциального уравнения второго порядка запишется в виде:

Решая его, получаем, что , то есть корни характеристического уравнения действительны и равны друг другу. Тогда искомое решение принимает вид:

Значение констант и из заданных начальных условий :

Из второго условия получим:

Итак, получаем, что корнями характеристического многочлена являются комплексно сопряженные числа, для которых . Тогда искомое решение

К уравнениям вида (1) чаще всего применяются два метода решения: метод вариации произвольных постоянных и метод неопределенных коэффициентов.

Метод вариации постоянных или метод Лагранжа

Если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (2), то общее решение неоднородного уравнения (1) можно найти, используя метод вариации произвольных постоянных.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (1) имеет вид:

Далее варьируем произвольные постоянные, то есть считаем, что в указанном решении величины и – это не постоянные, а функции переменной x:

То есть решение неоднородного уравнения тогда ищется в виде:

Искомые функции и находятся из системы

Определитель этой системы

называется определителем Вронского.

Решая систему (5) относительно пока неизвестных функций и (а точнее относительно их производных и ), будем иметь:

Интегрируя последние равенства, получаем:

Подставляя полученные в результате функции в решение (4), будем иметь:

или, после упрощения

Его характеристическое уравнение имеет вид:

Его корни . То есть в данном случае корни комплексные и для них . Следовательно, решение однородного уравнения запишется в виде:

Варьируем произвольные постоянные: . То есть решение исходного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будем искать в виде:

Для нахождения функций и составляем следующую систему уравнений:

Из первого уравнения получаем, что

Подставляя во второе уравнение системы, будем иметь:

Получили дифференциальное уравнение первого порядка относительно искомой функции . Интегрируем левую и правую части последнего равенства. В результате будем иметь:

Найдем теперь функцию . Поскольку

Метод неопределенных коэффициентов

Если правая часть неоднородного дифференциального уравнения (1) представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию (или комбинацию указанных функций):

то тогда решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.

В любом из случаев вид частного решения соответствует структуре правой части исходного неоднородного дифференциального уравнения.

1) Если правая часть уравнения (1) имеет вид (7), то частное решение ищем в виде:

где – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами и s=0 при , которое не является корнем характеристического многочлена, или s кратности , где — корень характеристического многочлена.

2) Если правая часть уравнения (1) имеет вид (8), то частное решение будем искать следующим образом:

Здесь – многочлены степени k с неопределенными коэффициентами и s=0 ( не является корнем характеристического многочлена), или s кратности — корень характеристического многочлена.

Неизвестные коэффициенты многочленов определяются подстановкой выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение (1).

Соответствующее характеристическое уравнение

Найдем его решение:

То есть решение однородного уравнения

Частное решение исходного неоднородного уравнения будем искать по виду правой части . Перепишем эту функцию следующим образом:

То есть правая часть неоднородного уравнения имеет вид (8). Тогда частное решение, согласно (10), ищем в виде:

Для нахождения неизвестных коэффициентов и D подставим частное решение в исходное уравнение. Для этого найдем от него первую и вторую производные:

Подставляем полученные выражения в исходное дифференциальное уравнение . В результате упрощения будем иметь:

Сокращаем левую и правую части последнего равенства на :

Таким образом, общее решение исходного неоднородного уравнения

Правая часть исходного неоднородного уравнения представляет собой сумму двух функций и . Тогда согласно принципу суперпозиции, частное решение заданного уравнения будет равно сумме частных решений, соответствующих каждой из указанных функций:

Первое частное решение

Подставляем его в исходное уравнение, для этого находим производные первого и второго порядков:

Тогда уравнение принимает вид:

Для нахождения неизвестных коэффициентов используем тот факт, что два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях. В результате получаем систему:

отвечает частное решение следующей структуры:

Подставляем в исходное уравнение:

Таким образом, решение исходного неоднородного дифференциального уравнения