Сумма и произведение | Логические задачи

не помню была ли эта задачка на старом Джеме, но может она кого заинтересует из новых посетителей.

Мальчик загадал два различных числа, каждое из которых строго больше 1 и строго меньше 100. Первому математику он сказал сумму этих чисел, а второму — их произведение. Через неделю математики встречаются и между ними происходит такой диалог: 2-ой математик: Мне не хватает данных, чтобы определить что это за числа 1-ый математик: А я знал, что тебе не хватит данных! 2-ой математик: Тогда я знаю что это за числа! 1-ый математик: Тогда я тоже знаю что это за числа! А Вы сможете назвать загаданные мальчиком числа?

Сумма и произведение | Логические задачи: 56 комментариев

уфф.. путём недолгого перебора получилось, что эти числа — 3 и 14 🙂 вроде проверил и правильно, если действительно правильно — могу и алгоритм перебора дать (естественно, я не каждое с каждым перебирал) 🙂

tib пишет: 24 сентября 2008 в 23:35 уфф.. путём недолгого перебора получилось, что эти числа — 3 и 14 вроде проверил и правильно, если действительно правильно — могу и алгоритм перебора дать (естественно, я не каждое с каждым перебирал) Нет ответ не верный. Данная задача очень интересная и сложная. Когда впервые нашел даннную задачу над решением думал почти месяц и нашел оригинальное решение(доказательство) данной задачи.

tib, лучше напишите мысли о том, как найти эти числа, а мы уже рассудим в чем вы заблуждаетесь или наоборот, куда вы копаете правильно.

блин, четыре раза переписывал пост, в конце концов плюнул: никак не получается сформулировать, вот на бумажке у меня выкладки лежат, мне всё понятно по ним, что и откуда следует, но вот перенести это сюда никак не получается 🙂 а перебирать уже лень, ибо это слишком большие деревья строить надо. А если не строить деревья — не знаю, как ещё решать 🙂

ну есть же какие-то правила, не все же возможные пары вы перебирали…

…можно на «ты» 😉 в общем я понял точно что одно число чётное а другое нечётное 🙂 причём сумма не должна давать в разложении на возможные слагаемые только простые числа (21, например, разлагается на 19 и 2, поэтому такая сумма невозможна)… остальное затрудняюсь высказать, оно тока на бумаге 🙂

я так думаю, что мальчик загадал 2 одинаковых числа :/ Так как каждый из математиков знает, что ему загадал мальчик и не знает, он загадал другому математику, следует предположить, что мальчик загадал 2 одинаковых числа..( тоже хз каких :)) а математически, у меня чтот такое получилось: т.к. 1

Вот мои мысли: второй математик знал бы какие это два числа только в том случае если оба числа были бы простыми первый математик знал, что оба числа не являются простыми, а это возможно в том случае, когда сумма является нечётным числом а сумма двух чисел является нечётным числом, когда одно из них чётное, а другое нечётное Второй математик догадался какие это два числа, когда узнал, что одно из них чётное, а другое не чётное. Догадаться можно тогда, когда нечётное число является простым. Когда первый математик узнал что нечётное число простое, он догадался, какие два числа загадали. Тут возникает вопрос: при каких условиях первый математик мог догаться? разность двух простых чисел есть число чётное, это значит, если простое число слишком большое, то можно это число разложить на сумму другого простого и чётного числа, чётное число полученное в остаке плюс чётное загаданное дадут другое чётное чило, в итоге получим две суммы удовлетворяющие условиям (простое число+чётное) и какую пару выбрать не извесно (также и загаданное четное можно разложить). Значит есть ограничение…. Сумма должна быть не более какого-то числа! Вобщем тут критерии отбора дальше пока я не додумал, начал путаться… Привёл в помощь простые числа: 2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47;53;59…. Кстати так же надо продумать и ограничение снизу, что б ответ не был «тривиальным».

Кстати 4 и 5 удовлетворяют, помоему, моим условиям…

rin, не удовлетворяют, потому что тогда первый математик по сумме 9 не смог бы определить, что 2-му не хватит данных, ибо есть пара 7-2

Не все так просто. Я вычислил условие, при котором математик-суммер, мог сказать, что он точно знал, что у математика-множителя не сойдется (условий будет недостаточно). Не вдаваясь в очень сильные дебри или подробности до всех 99 чисел, я выяснил, что таких сумм у математика-суммера могло быть минимум ДВЕ. Это сумма в 11 глаз, и сумма чисел в 17 поинтов. В каждом из этих двух случаев у Множителя не было вариантов одной единственной пары. И если бы такая сумма была всего одна, как то только 11 или только 17, Множитель мог бы заявить, что он знает загаданные числа. Зная сумму 11 и свое произведение, можно было бы безошибочно назвать загаданные числа. Даже в том случае, если бы значения произведений не пересекались, можно было методом исключения выявить числа, сумма которых 11 или 17 соответственно. Но! Среди этих обоих сумм есть множители, дающие произведение 30 . Это 5 и 6 при сумме 11 и 2 и 15 при сумме в 17 глаз. Поэтому НЕ МОЖЕТ математик-множитель сообщить, что знает числа, если мальчик загадал 5 и 6 или 2 и 15, а его произведение когда равно 30-ти. При любых иных сочетаниях — мог бы. Например, загаданы 4 и 7. мат.-ик-Множитель зная, что у него произведение 28, а сумма чисел 11 (а не 16 при 14 и 2) назвал бы числа 4 и 7 безошибочно. А вот у м.-Множителя, вариантов существенно больше по произведениям. И как м.-Суммер сможет отгадать числа, зная только свою сумму 11 (или, положим, 17) и то, что второй нашел загаданные числа, не зная сам произведения при всех его различных вариантах — не представляется осуществимым, кроме как чистой угадайкой…

Чё-то с утра непонял ваших мыслей, а 4 и 5 точно не подходят… Однако до включения и-нета вертелась мысль проверить «потолок» произведения и суммы, т.к. я его вообще из виду упустил к примеру числа 97 и 88(хотя эти числа, вроде, не подойдут…) я вобщем на пары спешу, поэтому до вечера

Эти числа 10 и 10. Так как 1-е число гораздо больше а 2-е гораздо меньше, то эти два числа должны быть равно удалённые; первое от цифры 1, а второе от 100; и когда у первого математика не хватило данных т.к. сумма 20, а у другого 100 и у него варианты(2-50,4-25, 5-20,10-10), и поэтому получается 10

Самое главное tib правильно определил сумму чисел, она равна действительно 17(простое нечетное число).

Или тогда это 9 и 8 потому-что вариантов произведения самое максимальное в пределах 100; а при сумме в 17, другие варианты произведения дают минимальное кол-во вариантов.

Нет, не правильно. Ведь 72=2^36=3^24=4^18=6^12=8^9. Это очень затруднит найти правильные числа не только тому, кто знает сумму, но и тому кто знает призведение

Последний вариант 12 и 5, потому-что при умножении получается (2-30,3-20,4-15,6-10) 4 варианта, и тогда 1-й понял что произведение равно 60, а первый что сумма 17

Теперь точно это 11 и 6

По моей логике если сумма 17, то это числа 4 и 13… Но как получили 17? По моей же логике пара чисел (37 и 4) также удовлетворяют условиям, и не только она…

Я думаю, что это 3 и 4, т.к. произведение 12 и данных о двух числах не достаточно, а у другого сумма равна 7 и значит он , т.к. он математик прикинул, что 2 и 5 равно 10 и данных достатояно, а других вариантов просто нет! 🙂

Batan! В том и дело, что если суммеру сказали 7, то суммер с уверенность сказать о том, что у математика-множителя не хватит данных не сможет!

есть еще такой вариант. в качестве суммы мальчик загадал свой возраст, а имеено 17, иначе хз как объяснить это число 🙂 которое получается при сложении 2х чисел, коими являются число и месяц его рождения 🙂 к примеру 7 октября. больше в голову ничего не лезет :))

rin, смотри внимательно: Суммер имеет цифру 7. Какие у него варианты: 2+5, 3+4 (1+6 не вариант, т.к. строго надо больше 1). Множитель имеет цифру 12. Какие у него варианты: 6х2, 4х3 (1х12 не вариант, т.к. строго надо больше 1). Суммер узнаёт, что Множителю не хватает данных, значит 2+5 отпадает, т.к. 2х5=10 и других вариантов получить 10 в произведении нет (1х10 не вариант, т.к. строго надо больше 1). Суммер говорит, что знает эти цифры 3 и 4. Множитель тоже не дурак и отметает вариант 2х6, т.к. 2+6=8: возможные варианты Суммера 2+6, 4+4 и 3+5. 4х4=16 (вариантовполучить 16 два 2х8 и 4х4), 3х5=15 догадаться можно, что других вариантов нет. При таком многообразии вариантов Суммер не заявил бы что он знает цифры, а значит Множитель тоже понимает, что это цифры 3 и 4.

А я знал, что тебе не хватит данных! сказал суммер Суммер имеет цифру 7. Какие у него варианты: 2+5… пишешь ты противоречие видишь?

Возможные комбинации: 2 12 2 14 3 6 4 6 4 13 8 12 10 14 58 96 78 98 80 90 84 88 97 99 98 99

fsv, 98*99 = 9702, какие у вас есть варианты? мне кажется тут однозначно можно определить что это числа 99 и 98, так как минимальный делитель 2, а 99*2 будет больше 100, что противоречит условию. Поэтому тот, кто знал произведение мог точно сказать что это за числа.

Господа сделаю вам небольшую подсказку. В каком случае произведенец не может однозначно определить что это за числа? В том случае, когда количество простых делителей произведения больше трех. В случае если их 3 все делители не могут быть одинаковыми. Например, произведение равно 8, варинт только один — 2*4, так как числа должны быть разными по условию. то же самое с кубами других простых чисел.

Ответы без пояснения не принимаются!

Ок 🙂 Фраза 1=»2-ой математик: Мне не хватает данных, чтобы определить что это за числа» Фраза 2=»1-ый математик: А я знал, что тебе не хватит данных!» Фраза 3=»2-ой математик: Тогда я знаю что это за числа!» Фраза 4=»1-ый математик: Тогда я тоже знаю что это за числа!» Из фразы 1 — вывод: по крайней мере одно из чисел не простое (произведение простых чисел однозначно определяет множители). Из фразы 2 — вывод: сумму загаданных чисел нельзя представить суммой двух простых чисел. Из фразы 3 — вывод: существует единственное решение, при котором сумма всех возможных комбинаций пар чисел, в произведении дающих «произведение_данное_мальчиком», удовлетворяет вывод 2. Из фразы 4 — вывод: существет единственно представление «суммы_данной_мальчиком» в виде сумм пар чисел, при котором соблюдается вывод 3. Корявый листинг могу приложить, вчера под пиво забыл 1 условие поставить, вот и получилась куча результатов 🙁 Сегодня программа выдала: 2 4 4 13 97 99 98 99 откуда исключаем 2 и 4 (куб двойки) и последние 2 варианта (см. SusAnna пишет: 30 сентября 2008 в 12:33). Остается 4 и 13. Ручками проверил, результат удовлетворил.

4 и 13 сумма 17, произведение 52 52=2*2*13=4*13=2*26 4+13=17 (17 нельзя предстваить суммой двух простых чисел) 2+26=28 (28 можно таки: 5+23) вывод: 52=4*13 17=2+15=3+14=4+13=5+12=6+11=7+10=8+9 2*15=30=2*3*5=6*5=10*3=15*2 — 6+5=11 (может быть такая сумма) — 10+3=13 (не может, 13=2+11) — 15+2=17 (может) однозначного решения для 2-го математика нет 3*14=42=3*2*7=6*7=21*2=3*14 — 6+7=13 (не может, 13=2+11) — 21+2=23 (может) — 3+14=17 (может) однозначного решения для 2-го математика нет 4*13=52 единственное решение для 2-го математика (см. выше) 5*12=60=2*2*3*5=2*30=3*20=4*15=5*12=6*10 — 2+30=32 (не может, 32=3+29) — 3+20=23 (может) — 4+15=19 (не может, 19=2+17) — 5+12=17 (может) … однозначного решения для 2-го математика нет 6*11=66=2*3*11=6*11=3*22=2*33 — 6+11=17 (может) — 3+22=25 (не может, 25=2+23) — 2+33=35 (может) однозначного решения для 2-го математика нет 7*10=70=2*5*7=10*7=2*35=5*14 — 10+7=17 (может) — 2+35=37 (может) … однозначного решения для 2-го математика нет 8*9=72=2*2*2*3*3=2*36=3*24=4*18=6*12=9*8 — 2+36=39 (не может, 39=2+37) — 3+24=27 (может) — 4+18=22 (не может, 22=3+19) — 6+12=18 (не может, 18=5+13) — 9+8=17 (может) однозначного решения для 2-го математика нет вывод: 17=4+13

Мда… Надо поучиться программировать… Ответ 4-13 я нашёл ещё 26/09, но сомневался в единственности решения. SusAnna, а есть ли решение, без перебора вариантов?

вот ядумала над этим.. но к сожалению мое решение тоже перебором. Надо XANT’а потрясти, он вроде как-то по-другому решил.

А откуда задачка? Если не из сборника для программистов, то должно быть такое решение (мне так кажется 8-))

я эту задачку решала на другом сайте задач 🙂 адрес не скажу, ибо конкуренция :))

Тоже хотел написать объяснение почему 4 и 13 подойдут, но на примере 37 и 4 — не вышло. попробовал 23 и 4 — опять не получилось… остальные варианты пробовать не стал, видимо 4 и 13 единственное решение

А вообще думал подобно: произведение 52; сумма 17; Размышления множителя: множитель имеет 52, которое можно составить произведением 13 на 4 и 26 на 2, какой вариант выбрать он не знает, однако суммер множителю заявил, что знает, что инфы тому не хватит, значит, сумма не равна 26 т.к. тогда бы если суммер в мыслях разложил сумму, к примеру, на 3 и 23(два простых числа) и не смог бы заявить, что множителю не хватит данных. Именно поэтому множитель после заявления суммера догадался, что за числа загаданы(17 не разложится на сумму 2х простых чисел). Размышления суммера: у меня число 17 оно нечётное, на сумму 2х простых оно не разложится*, а значит я скажу множителю, что ему информации не хватит! Я ему сказал, а он догадался что за числа загаданы, когда он мог догадаться? а тогда, когда информация(косвенно дошедшая до него) о том, что сумма нечётная ему полезна! Сумма нечётная если одно слагаемое чётноё, а другое нечётное. Возникают варианты 15 и 2; 13 и 4; 11 и 6; 9 и 8; 7 и 10;5 и 12;3 и 14. Если у множителя было произведение 30, то информация о том ,что один множитель чётный, а другой нет ничего бы не дала помимо 15 и 2 есть равносильное произведение 6 и 5, /52 рассмотрим потом/, 66 (дополнительно 33 и 2), 72 (24 и 3), 70 (14 и 5), 60 (3 и 10), 42 (7 и 6) Имея же произведение равное 52, получим два неравносильных варианта 13 и 4; 26 и 2; Последний вариант осечется т.к. оба числа чётные. Значит, ответ ясен! *т.к. случай со слагаемым 2 не подходит

а почему не подходит вариант 16 и 13 ? сумма 29 вроде простое число у произведенца варианты 16*13 или 8*26 или 4*52 суммер говорит, что знает что данных недостаточно (т.е. что одно из чисел непростое, и то что одно чётное другое нечётное) произведенец понимает после этого ответ: 16и13 а у суммера варианты: 27+2 = 26+3 = 25+4 = 24+5 = 23+6 = 22+7 = 21+8 = 20+9 = 19+10 = 18+11 = 17+12 = 16+13 = 15+14 из которых он тоже выбирает 16и13 .

В условии не сказано, что числа целые.

Maniac это вообще и так понятно-))) Но мне не понятно почему например не подходит 16 и 13?

а почему 4 и 37 не подходят?

А нет у кого нибудь оригинала формулировки задачи? Просто не могу понять почему все прицепились к простым числам? Почему мальчик не мог например загадать числа.. ну например.. 69 и 93 и сообщить одному математику число 162 а второму 6417 . Я вероятно чего то не замечаю?? Поясните кто может..

Для DrDevils: Не выполняется уже первое условие. 69*93=3*23*3*31. Из этих сомножителей двух других (в пределах 2 — 99), кроме 69 и 93 получить нельзя. Т.е. 2-й математик, зная 6417, назвал бы загаданные числа.

Чисто риторическое рассуждение… Первому говорю Сумма=85, Второму говорю Произв = 546 Через неделю они встречаются… Произв: «мало данных» (думая что 546 это 26*21 или 6*91 или 7*78 или 13*42 или 14*39) Сумма: «знал что тебе мало данных» (зная что 85 можно получить как.. 1)40+45 = 85 и думает что Произву сказано число 1800 и тот(Произв) не может отгадать ибо 1800 можно получить как 40*45 или 20*90 или 25*72 или 50*36… ) 2)5+80 = 85 и думает что Произву сказано число 400 и тот(Произв) не может отгадать ибо 400 можно получить как 10*40 или 25*16 или 5*80 или 20*20… ) Я понимаю что зная ОБА числа одновременно можно легко угадать загаданные числа… но ведь каждый математик знает только свое число?? (Загадано 7 и 78 — но мы то знаем и сумму 85 и произведение 546)

До меня дошло.. как только отправил сразу стало доходить.. ключевую фразу говорит Произв: «Тогда я знаю что это за числа!».. буду копаться дальше.

Как находить решение в общем случае? Введём обозначения: m1 — 1-й математик, m2 — 2-й математик, с1, с2 – загаданные числа, sum=с1+с2, mul=с1*с2. sum может разлагаться на ряд вариантов с1 и с2. Например: 9=2+7=3+6=4+5 11=2+9=3+8=4+7=5+6 13=2+11=3+10=4+9=5+8=6+7 17=2+15=3+14=4+13=5+12=6+11=7+10=8+9. Мы видим, что 9 и 13 разлагаются, в том числе, на сумму простых чисел: 9=2+7, 13=2+11. Значит, если m1 достанется какое-либо из таких sum, то он не сможет утверждать, что m2 не знает загаданные с1 и с2. 11 и 17 на сумму простых чисел не разлагаются. sum, в разбивающаяся на 2 простые слагаемые, назовём запрещённым числом ЗЧ. sum без простых разложений – разрешённое число РЧ. Отметим, что для РЧ выполняются 1) и 2) задачи. Приведу первые РЧ: 6, 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95, 97, 101, … Ещё раз посмотрим на 11=2+9=3+8=4+7=5+6. m2 знает произведение mul. Но поскольку 11 – РЧ, всегда есть другие варианты mul: 2*9=18=3*6 — 3+6=9 — ЗЧ 3*8=24=4*6=2*12 — 10 и 14 — ЗЧ 4*7=28=2*14 — 16 — ЗЧ 5*6=30=10*3=2*15 — 13 – ЗЧ, 17 – РЧ Что имеем? Если бы m2 попались числа 18, 24 или 28, то после 1) и 2) он бы отгадал с1 и с2, т.к. в вариантах по одному РЧ. Но не выполнилось бы 4) – m1, получив sum=11, не смог бы узнать, какой из трёх вариантов выбрать. Если бы m2 попалось mul=30, то он не смог бы угадать с1 и с2 – в разложении 2 РЧ: 11 и 17. А вот для sum 17=2+15=3+14=4+13=5+12=6+11=7+10=8+9 имеем mul 30=2*15=5*6=3*10 — 2 РЧ 42=2*21=3*14=6*7 — 3 РЧ 52=2*26=4*13 — 1 РЧ 60=2*30=3*20=4*15=5*12=6*10 — 2 РЧ 66=2*33=3*22=6*11 — 2 РЧ 70=2*35=5*14=7*10 — 2 РЧ 72=2*36=3*24=4*18=6*12=8*9 — 2 РЧ Итак, m2 попалось mul=52. Он не знает, какой из 2 вариантов выбрать (утверждение 1)). m1 получил sum=17. Это РЧ. Поэтому m1 утверждает 2). Отсюда m2 делает вывод, что sum=2+26=28 – ЗЧ невозможна. Остаётся единственный вариант 4*13. Следует 3) и 4).

Думаю ответ: 13 и 4

C помощью FoxPro нашёл ещё пары, удовлетворяющие условию задачи: 4 и 61, 16 и 73, 64 и 73. Просканировал и дальше по суммам пар до 28195. Всего нашлось 1100 пар. Плотность искомых сумм среди натуральных чисел довольно быстро приближается к 1/25,6. В 95% случаев одно из слагаемых – степень двойки от 4 до 16384. Одно из слагаемых простое в 97% пар. На промежутке 200 000 – 201 000 найдено 38 пар, плотность 1/26,3. На промежутке 500 000 – 500 669 найдено 21 пара, плотность 1/31,9.

Если начинать с 2-х,то 2и 3 не подходят,пч ответ сразу ясен.Если взять 3,то при умножении на 4 получаем произведение 12-отсюда у 2-го математика два варианта- 4*3=12 и 2*6=12(2-ой математик: Мне не хватает данных, чтобы определить что это за числа) ,какой из двух вариантов правильный он не знал…Первый математик имел на руках сумму чисел 7, у него тоже два варианта ответа 2+5 или 3+4,он не знал какой из двух верный. Произведение 2*5=10,если бы этот вариант был правильный,то у второго математика сомнений бы не вызвал, соответственно 3 и 4.Первый математик это сразу понял из диалога,а затем и второй выбрал правильный вариант из двух возможных. 2-ой математик: Мне не хватает данных, чтобы определить что это за числа(…4 и 3 или 6 и 2) 1-ый математик: А я знал, что тебе не хватит данных!(2 и 5не подходят, тк 2*5=10 и других вариантов нет или 3 и 4,соответственно 3 и 4 ) 2-ой математик: Тогда я знаю что это за числа! 1-ый математик: Тогда я тоже знаю что это за числа!

решите пожалуйста: при каком условии: а) сумма двух чисел равна одному из них. б)разность равна уменьшаемому,нулю в)произведение равно одному из множителей,нулю г) частное равно делимому,нулю, единице ? Как найти делимое,если известны делитель,неполное частное и остаток?

Вообще то это сайт занимательных задач, а не школьная решалка. а) a + b = a, если b = 0 б) a — b = a, если b = 0; a — b = 0, если a = b в) a * b = а, если b =1; a * b = 0, если a = 0 или b =0 г) выражение a / b: = 1, если b = a; не имеет смысла, если b = 0; = a, если b = 1 д) a = b * q + r Тогда q — неполное частное, r — остаток от деления Допустим, делитель b = 5, неполное частное q = 17, остаток от деления r = 12 Тогда делимое a = 5 * 17 + 12 = 97

У меня получилось, что одно из чисел должно быть равно 2 в натуральной степени большей единицы (обозначим его z), а второе число либо простое, либо составное, но такое, что при перемножении любого его компонентов на z получается число меньшее 100. Соответственно, сумма этих чисел должна быть нечетным числом, разлагающимся на два подобных числа, но единственным образом (при этом степень двух не должна быть равна 1). Соответственно, в начале числового ряда сразу отбрасываем 7,9, 13, 15 по проостейшему критерию (допускают разложение на 2 и простое число) и уже 17 единственным способом разлагается на два в степени и простое число (4 и 13). Но вот дальше непонятно. Ведь таким же образом, этому критерию соответствуют, скажем, 8 и 29, 17 и 36.

Сорри, ошибка в последнем предложении последнего поста, не 17 и 36, а 37 и 16, разумеется