Задачи на исследование функций в системе Maple
Система Maple — патриарх в семействе систем символьной математики. И поныне это весьма привлекательная система для математика-аналитика и научного работника. Даже в среде MS-DOS Maple имеет неплохой интерфейс и превосходно организованную обширную базу данных помощи. Полнота ядра системы, хранящего более 2700 математических функций (у последней реализации Maple их уже свыше 3000!) и правил их преобразования, вполне заслуживает большого уважения. Весьма привлекательное свойство этой системы — подробная встроенная помощь и множество примеров ко всем встроенным в нее функциям и прикладным пакетам. Эти примеры легко скопировать в окно редактирования системы и тут же решить.
На рис.1 приведен интерфейс системы Maple. Разобраться в работе с системой не так сложно.
Достойна восхищения и математическая графика системы Maple, в частности возможность изображения пересекающихся трехмерных фигур с функциональной окраской. Новейшие системы Maple для Windows по возможностям графики стоят на одном уровне с системами Mathematica.
К сожалению, фирма Waterloo Maple Inc. (Канада) - разработчик системы Maple — больше блистала математической проработкой своего проекта, чем уровнем его коммерческой реализации. В силу этого система Maple была доступна в основном узкому кругу профессионалов. Сейчас эта фирма работает совместно с более преуспевающей в коммерции и проработке пользовательского интерфейса математических систем фирмой MathSoft, Inc. — создательницей весьма популярных и массовых систем для численных расчетов Mathcad, ставших международным стандартом для технических вычислений.
Приведенные ниже примеры мы думаем вам помогут получить первоначальные сведения о работе с системой и как нам кажется не нуждаются в комментариях для тех, кто хоть немного знаком с компьютером.
Для начала приведем примеры применения функции Maple, которые используются при исследовании функций.
Примеры уравнений, систем уравнений:
Примеры анализа функций на непрерывность( -функция непрерывна, -имеет разрыв, closed - показывает, что конечные точки должны проверяться):
1.> iscont( 1/x, x=1..2 ); 2.> iscont( 1/x, x=-1..1 ); 3.> iscont( 1/x, x=0..1 ); 4.> iscont( 1/x, x=0..1, 'closed' );
Примеры определения точек нарушения непрерывности:
1.> discont(1/(x-2),x); 2.> discont(1/((x-1)*(x-2)*(x-3)),x);
Примеры нахождение экстремума:
1.> extrema(2*x^2+3*x-7,,x); 2.> extrema( a*x^2+b*x+c,,x );
Примеры нахождение минимального значения- (minimize - минимальное значение , maximize - максимальное значение):
1.> minimize(exp(tan(x)), x=0..10); 2.> minimize(x^2-3*x+y^2+3*y+3);
Примеры вычисления приделов (infinity - бесконечность, - несуществует):
1.> limit(sin(x)/x, x=0); 2.> limit(exp(x), x=infinity); 3.> limit(exp(x), x=-infinity); 4.> limit(1/x, x=0, real); 5.> Limit(sin(x), x=0);
Примеры вычисления производных:
1.> diff(sin(x),x); 2.> diff(x*sin(cos(x)),x); 3.> diff(tan(x),x); 4.> Diff(tan(x),x); 5.> Diff(tan(x),x) = diff(tan(x),x);
Примеры вычисления неопределенных интегралов:
1.> int( sin(x), x ); 2.> int( x/(x^3-1), x );
Пример вычисления определенного интеграла:
> int( sin(x), x=0..Pi );
Примеры построение графиков:
1.> plot(cos(x) + sin(x), x=0..Pi);
Задача 1. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y=x 3 - 1,5x 2 - 6x + 1 на отрезке [-2; 0].
1. Решаем задачу графически
> y(x):=x^3-1.5*x^2-6*x+1; > plot(y(x),x=-2..0);
2. Решаем задачу аналитически, т.е. исследованием функции.
Находим и исследуем критические точки.
3. Проверяем функциями нахождения max и min.
> maximize(x^3-1.5*x^2-6*x+1,x=-2..0); > minimize(x^3-1.5*x^2-6*x+1,x=-2..0);
Изложенные методы поиска наибольших и наименьших значений функции применимы к решению разнообразных прикладных задач. При этом действуют по следующей схеме:
задача “переводится” на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую величину выражают как функцию;
средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке;
выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный результат (на языке функций).
Задача 2. Из квадратного листа жести со стороной а надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам (рис.2) квадратики и загнув образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был максимальным?
Решение. 1) Обозначим через х длину стороны основания коробки. Тогда, длины сторон вырезанных квадратиков равны (a-x)/2, а объем коробки равен (a-x)x 2 /2. (Рис.3)
По смыслу задачи число х удовлетворяет неравенству 0 < х < a, т.е. принадлежит интервалу (0; а). Таким образом, задачу мы свели к следующей задаче: найти наибольшее значение функции V(x)=(a-x)x 2 /2 на интервале (0;а).
Примем значение а=10.
- графически;
- исследованием функции;
- нахождением max.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 3. Дано бревно с круглым сечением диаметра d. Требуется обтесать его так, чтобы получилась балка с прямоугольным сечением наибольшей прочности.
Указание. В теории сопротивления материалов устанавливается, что прочность прямоугольной балки пропорциональна произведению bh 2 , где b - основание прямоугольника в сечении балки, в h - его высота (Рис. 4).
Задача 4. Пусть электрическая лампочка может передвигаться (например, на блоке) по вертикальной прямой OB (рис.) На каком расстоянии от горизонтальной плоскости ОА ее следует поместить, чтобы в точке А этой плоскости получить наибольшую освещенность (угол ВАО - ) ? Рис. 5.
Указание. Освещенность J пропорциональна sin и обратно пропорцианальна квадрату расстояния r=АВ, т.е.