Тригонометрические формулы: косинус, синус и тангенс двойного угла
Формулы двойного угла дают возможность выразить тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) угла ` 2\alpha` через эти самые функции угла `\alpha`.
Перечень всех формул двойного угла
Записанный ниже список — это основные формулы двойного угла, которые наиболее часто используются в тригонометрии. Для косинуса их есть три, они все равносильны и одинаково важны.
`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha` `cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` `tg \ 2\alpha=\frac` `ctg \ 2\alpha=\frac`
Следующие тождества выражают все тригонометрические функции угла ` 2\alpha` через функции тангенс и котангенс угла `\alpha`.
Формулы для косинуса и синуса двойного угла выполняются для любого угла `\alpha`. Формулы для тангенса двойного угла справедливы для тех `\alpha`, при которых определен `tg \ 2\alpha`, то есть при ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \ n \in Z`. Аналогично, для котангенса они имеют место для тех `\alpha`, при которых определен `ctg \ 2\alpha`, то есть при ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \ n \in Z`.
Доказательство формул двойного угла
Все формулы двойного угла выводятся из формул сумы и разности углов тригонометрических функций.
Возьмем две формулы, для сумы углов синуса и косинуса:
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` и `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`. Возьмем `\beta=\alpha`, тогда `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \ \alpha\ cos \ \alpha+cos \ \alpha\ sin \ \alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`, аналогично `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ \alpha\ cos \ \alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, что и доказывает формулы двойного угла для синуса и косинуса.
Два другие равенства для косинуса ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` и `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` сводятся к уже доказанному, если в них заменить 1 на `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`. Так `1-2 \ sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2 \ sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` и `2 \ cos^2 \alpha-1=` `2 \ cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`.
Чтобы доказать формулы тангенса двойного угла и котангенса, воспользуемся определением этих функций. Запишем `tg \ 2\alpha` и `ctg \ 2\alpha` в виде `tg \ 2\alpha=\frac ` и `ctg \ 2\alpha=\frac `. Применив уже доказанные формулы двойного угла для синуса и косинуса, получим `tg \ 2\alpha=\frac =\frac ` и `ctg \ 2\alpha=\frac =` `\frac `.
В случае с тангенсом разделим числитель и знаменатель конечной дроби на `cos^2 \alpha`, для котангенса в свою очередь — на `sin^2 \alpha`.
Предлагаем еще посмотреть видео, чтобы лучше закрепить теоретический материал:
Примеры использования формул при решении задач
Формулы двойного угла в большинстве случаев используются для преобразование тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые из случаем, как можно на практике применять их при решений конкретных задач.
Пример 1. Проверить справедливость тождеств двойного угла для `\alpha=30^\circ`.
Решение. В наших формулах используется два угла `\alpha` и `2\alpha`. Значение первого угла задано в условии, второго соответственно будет `2\alpha=60^\circ`. Также нам известны числовые значения для всех тригонометрических функций этих углов. Запишем их:
`sin 30^\circ=\frac 1 2`, `cos 30^\circ=\frac 2`, `tg 30^\circ=\frac 3`, `ctg 30^\circ=\sqrt 3` и
`sin 60^\circ=\frac 2`, `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg 60^\circ=\sqrt 3`, `ctg 60^\circ=\frac 3`.
Тогда будем иметь
`sin 60^\circ=2 sin 30^\circ cos 30^\circ=` `2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac 2=\frac 2`,
`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac 2)^2 \cdot (\frac 1 2)^2=\frac 1 2`,
Что и доказывает справедливость равенств для заданного в условии угла.
Пример 2. Выразить `sin \frac 3` через тригонометрические функции угла `\frac 6`.
Решение. Запишем угол синуса следующим образом ` \frac 3=4 \cdot \frac 6`. Тогда, применив два раза формулы двойного угла, мы сможем решить нашу задачу.
Вначале воспользуемся равенством синуса двойного угла: ` sin\frac 3=2 \cdot sin\frac 3 \cdot cos\frac 3 `, теперь снова применим наши формулы для синуса и косинуса соответственно. В результате получим:
` sin\frac 3=2 \cdot sin\frac 3 \cdot cos\frac 3=` `2 \cdot (2 \cdot sin\frac 6 \cdot cos\frac 6) \cdot (cos^2\frac 6-sin^2\frac 6)=` `4 \cdot sin\frac 6 \cdot cos^3 \frac 6-4 \cdot sin^3\frac 6 \cdot cos \frac 6`.
Ответ. ` sin\frac 3=` `4 \cdot sin\frac 6 \cdot cos^3 \frac 6-4 \cdot sin^3\frac 6 \cdot cos \frac 6`.
Формулы тройного угла
Эти формулы, аналогично к предыдущим, дают возможность выразить функции угла ` 3\alpha` через эти самые функции угла `\alpha`.
Доказать их можно, используя равенства сумы и разности углов, а также хорошо известные нам формулы двойного угла.
`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=` `3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`.
Заменим в полученной формуле `sin \ 3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` на `1-sin^2\alpha` и получим `sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`.
Также и для косинуса тройного угла:
`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha`.
Заменив в конечном равенстве `cos \ 3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` на `1-cos^2\alpha`, получим `cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`.
С помощью доказанных тождеств для синуса и косинуса можно доказать для тангенса и котангенса:
Для доказательства формул угла ` 4\alpha` можно представить его как ` 2 \cdot 2\alpha` и примерить два раза формулы двойного угла.
Для вывода аналогичных равенств для угла ` 5\alpha` можно записать его, как ` 3\alpha + 2\alpha` и применить тождества суммы и разности углов и двойного и тройного угла.
Аналогично выводятся все формулы для других кратных углов, то нужны они на практике крайне редко.