И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Десятичная запись

1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Десятичная запись 1 Всероссийская олимпиада школьников по математике Московская математическая олимпиада Олимпиада им. Леонарда Эйлера Турнир городов «Ломоносов» «Покори Воробьёвы горы!» «Физтех» «Курчатов» ОММО Всероссийская олимпиада школьников по математике 1.1. [Vse 2016.S.10.6] Существует ли натуральное число, кратное 2015, сумма цифр которого равна 2015? 1.2. [Vse 2016.M.9.2] Могут ли произведения всех ненулевых цифр двух последовательных натуральных чисел отличаться ровно в 54 раза? 1.3. [Vse 2005.R.8.5;9.5] Известно, что сумма цифр натурального числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50. Докажите, что N чётно [Vse 1999.R.8.2;10.1] К натуральному числу A приписали справа три цифры. Получившееся число оказалось равным сумме всех натуральных чисел от 1 до A. Найдите A [Vse 2007.R.8.2] Петя задумал натуральное число и для каждой пары его цифр выписал на доску их разность. После этого он стёр некоторые разности, и на доске остались числа 2, 0, 0, 7. Какое наименьшее число мог задумать Петя? 1.6. [Vse 2001.R.8.6] Натуральное число n назовём хорошим, если каждое из чисел n, n + 1, n + 2 и n + 3 делится на сумму своих цифр. (Например, n = хорошее.) Обязательно ли предпоследней цифрой хорошего числа, оканчивающегося восьмёркой, будет девятка? 1.7. [Vse 2004.R.8.7] Набор пятизначных чисел таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в возрастающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним из чисел N 1. N k. Найдите наименьшее возможное значение k [Vse 1999.R.9.1] По кругу выписаны в некотором порядке все натуральные числа от 1 до N, N 2. При этом для любой пары соседних чисел имеется хотя бы одна цифра, встречающаяся в десятичной записи каждого из них. Найдите наименьшее возможное значение N. 1

2 1.9. [Vse 2010.R.9.3;10.2] Можно ли при каком-то натуральном k разбить все натуральные числа от 1 до k на две группы и выписать числа в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы получились два одинаковых числа? [Vse 1999.F.9.1] В числе A цифры идут в возрастающем порядке (слева направо). Чему равна сумма цифр числа 9 A? [Vse 2014.R.10.2] Стозначное число n назовём необычным, если десятичная запись числа n 3 заканчивается на n, а десятичная запись числа n 2 не заканчивается на n. Докажите, что существует не менее двух стозначных необычных чисел [Vse 1999.F.10.5] Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а сумма цифр числа 44n равна 800. Чему равна сумма цифр числа 3n? [Vse 2013.F.10.5] Существует ли такое натуральное n, что для любых ненулевых цифр a и b число anb делится на ab? (Здесь через x. y обозначено число, получаемое приписыванием друг к другу десятичных записей чисел x. y.) [Vse 1993.R.11.1] Найдите все натуральные числа n, для которых сумма цифр числа 5 n равна 2 n [Vse 2013.R.11.1] Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трёх чисел записали на доске, а затем всё, кроме трёх последних цифр этого произведения, стёрли. Какие три цифры могли остаться на доске? [Vse 1996.F.11.1] Может ли число, получаемое выписыванием в строку друг за другом целых чисел от 1 до n (n > 1), одинаково читаться слева направо и справа налево? [Vse 2004.F.10.8] Существует ли такое натуральное число n > , не делящееся на 10, что в его десятичной записи можно переставить две различные ненулевые цифры так, чтобы множество его простых делителей не изменилось? [Vse 2015.F.10.4] Обозначим через S(k) сумму цифр натурального числа k. Натуральное число a назовём n-хорошим, если существует такая последовательность натуральных чисел a 0, a 1. a n, что a n = a и a i+1 = a i S(a i ) при всех i = 0, 1. n 1. Верно ли, что для любого натурального n существует натуральное число, являющееся n-хорошим, но не являющееся (n + 1)-хорошим? 2 Московская математическая олимпиада 2.1. [Mos ] На доске написаны четыре трёхзначных числа, в сумме дающие Для записи их всех были использованы только две различные цифры. Приведите пример таких чисел [Mos ] Верно ли, что к любому числу, равному произведению двух последовательных натуральных чисел, можно приписать в конце какие-то две цифры так, что получится квадрат натурального числа? 2

3 2.3. [Mos ] Квадрат суммы цифр числа A равен сумме цифр числа A 2. Найдите все такие двузначные числа A [Mos ] Ученик не заметил знак умножения между двумя трёхзначными числами и написал одно шестизначное число, которое оказалось в семь раз больше их произведения. Найдите эти числа [Mos ] Придумайте десятизначное число, в записи которого нет нулей, такое, что при прибавлении к нему произведения его цифр получается число с таким же произведением цифр [Mos ] Существует ли такое натуральное число n, что числа n, n 2, n 3 начинаются на одну и ту же цифру, отличную от единицы? 2.7. [Mos ] Существует ли 2016-значное число, перестановкой цифр которого можно получить 2016 разных 2016-значных полных квадратов? 2.8. [Mos ] Ученик не заметил знака умножения между двумя семизначными числами и написал одно четырнадцатизначное число, которое оказалось в три раза больше их произведения. Найдите эти числа [Mos ] Сумма цифр натурального числа n равна 100. Может ли сумма цифр числа n 3 равняться ? [Mos ] К каждому члену некоторой конечной последовательности подряд идущих натуральных чисел приписали справа по две цифры и получили последовательность квадратов подряд идущих натуральных чисел. Какое наибольшее число членов могла иметь эта последовательность? [Mos ] Найдите наименьшее натуральное число, десятичная запись квадрата которого оканчивается на [Mos ] Докажите, что для любого натурального числа d существует делящееся на него натуральное число n, в десятичной записи которого можно вычеркнуть некоторую ненулевую цифру так, что получившееся число тоже будет делиться на d [Mos ] Докажите, что для любого натурального n найдется натуральное число, десятичная запись квадрата которого начинается n единицами, а заканчивается какой-то комбинацией из n единиц и двоек [Mos ] Саша обнаружил, что на калькуляторе осталось ровно n исправных кнопок с цифрами. Оказалось, что любое натуральное число от 1 до можно либо набрать, используя лишь исправные кнопки, либо получить как сумму двух натуральных чисел, каждое из которых можно набрать, используя лишь исправные кнопки. Каково наименьшее n, при котором это возможно? [Mos ] К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трех исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел. 3

4 3 Олимпиада им. Леонарда Эйлера 3.1. [Eul ] 100 идущих подряд натуральных чисел отсортировали по возрастанию суммы цифр, а числа с одинаковой суммой цифр просто по возрастанию. Могли ли числа 2010 и 2011 оказаться рядом? 3.2. [Eul ] Даны 2n-значное натуральное число a и натуральное число k. Числа a и ka записали на ленте и каждую из двух записей разрезали на двузначные числа, начиная с последних цифр (при этом числа 00, 01. 09 здесь тоже считаются двузначными; если в числе ka оказалось нечётное количество цифр, к нему спереди приписали 0). Оказалось, что у числа a полученные двузначные числа строго убывают справа налево (от младших разрядов числа a к старшим), а у числа ka строго возрастают. Докажите, что k n [Eul ] На бесконечной ленте выписаны в ряд числа. Первой идёт единица, а каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением к нему наименьшей ненулевой цифры его десятичной записи. Сколько знаков в десятичной записи числа, стоящего в этом ряду на ом месте? 4 Турнир городов 4.1. (Турнир городов, 2016, 8 9 ) Верно ли, что любое натуральное число можно умножить на одно из чисел 1, 2, 3, 4 или 5 так, чтобы результат начинался на цифру 1? Да 4.2. (Турнир городов, 2016, 8 11 ) На длинной ленте бумаги выписали все числа от 1 до включительно (в некотором произвольном порядке). Затем ленту разрезали на кусочки по две цифры в каждом кусочке. Докажите, что в каком бы порядке ни выписывались числа, на кусочках встретятся все двузначные числа (Турнир городов, 2016, 8 9 ) Пусть p простое число, большее 10 k. Взяли число, кратное p, и вставили между какими-то двумя его соседними цифрами k-значное число A. Получили число, кратное p. В него вставили k-значное число B между двумя соседними цифрами числа A, и результат снова оказался кратным p. Докажите, что число B получается из числа A перестановкой цифр (Турнир городов, 2015, 8 9 ) Назовем натуральное число ровным, если в его записи все цифры одинаковы (например: 4, 111, ). Докажите, что любое n-значное число можно представить как сумму не более чем n + 1 ровных чисел (Турнир городов, 2015, 8 11 ) а) Натуральные числа x, x 2 и x 3 начинаются с одной и той же цифры. Обязательно ли эта цифра единица? б) Тот же вопрос для натуральных чисел x, x 2, x 3. x а) Нет; б) нет 4.6. (Турнир городов, 1981, 9 10 ) Доказать, что любое действительное положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичная запись (каждого из) которых состоит из цифр 0 и 7. 4

5 4.7. (Турнир городов, 2012, ) Натуральные числа a < b < c таковы, что b + a делится на b a, а c + b делится на c b. Число a записывается 2011 цифрами, а число b 2012 цифрами. Сколько цифр в числе c? «Ломоносов» 5.1. («Ломоносов», 2011, 7 8 ) Вычислите: ( ) : ( 4 33 > . . . 8.