Функция f(X) называется четной, если для каждого Х из области определения Df функции f(X) выполняется равенство f(-X) = f(X)
Из равенств f (- x )= f ( x ) или f (- x )=- f ( x ) следует:
Область определения D f функции f ( x ) есть множество, симметричное относительно точки ноль, т. е. для всякого x и - x ;
Значения функции f ( x ) в симметричных точках совпадают или противоположны.
Понятия четной или нечетной функции можно вводить, и исходя из геометрических представлений о симметрии:функция f ( x ), график которой симметричен относительно оси ординат, называется четной;
функция f ( x ), график которой симметричен относительно начала координат, называется нечетной.
При ответе на вопрос данной темы очень полезно иметь перед глазами картинку, изображающую схематично график функции. Задание может быть так же на вычисление значения четной или нечетной функции по какому-то уже известному значению.
Сформулируйте правила для определения четности (нечетности) различных функций ; композиций двух функций: а) четных; б) нечетных; в) четной и нечетной. Приведите примеры, иллюстрирующие правила.
На приведенных рисунках (из части А вариантов ЕГЭ) найдите четные и нечетные функции.
Нарисуйте график функции, заданной на множестве неотрицательных чисел, достройте его так, чтобы получился график функции: четной, нечетной, общего вида; сделайте это упражнение для множества неположительных чисел.
Может ли быть четной или нечетной функция, определенная на множестве ( а-5;а+7) ? Если может, то при каких значениях а ?
Исследуйте функцию на четность нечетность:
а) ƒ( х ) = х 3 – sin х; б) ƒ( х ) = х 5 tg х.
а) ƒ(- х )= (- х ) 3 – sin (-х) = - х 3 + sin х = – ( х 3 – sin х ).
Так как ƒ(– х ) = – ƒ( х ) ƒ( х ) = х 3 – sin х является нечетной.
б) ƒ(- х ) = (- х ) 5 tg (- х ) =- х 5 (-tg х ) = х 5 tg х
ƒ(- х ) = ƒ( х )= > ƒ( х ) = х 5 tg х является четной.
Найдите f(-x) для следующих функций:
Вычислите значение функции y=4sin 7х при х = -12 - ,
если при х = функция принимает значение -2.
Решение. -12 , так как функция у=4sin 7х - нечетная, то значение функции при х = -12 равно 2.
Найдите значение функции у=3f (-x)-g(-x)f(x) в точке х 0 0, если известно, что функция у=f(x)-четная, а у=g(x)-нечетная; f(x 0 )=1, g(x 0 )=3.
Решение . Поскольку функция у=f(x) четная, то f(-x 0 )=f(x 0 )=1. Так как g(x) - нечетная, то g(-x 0 )=-g(x 0 )=-3. Значит
3f (-x 0 )-g(-x 0 ) . f(x 0 )=3 .
Функция у=f(x), определена на R, нечетная, f(x)=g(x),где
g(x)=x(2x+1)(x-3)(x+2). Найти значение h(-1), если
Решение : , т.к. f(x) нечётная, то f(-1)=-f(1), но по условию f(x)=g(x), тогда -f(1), =-g(1).
Параметры а и b таковы, что функция - нечетная, - четная. Найдите значение выражения af(-2)+bg(-2).
Решение : 1. D(f)=R, симметричное множество, и f(-x)=- f(x) по условию
а=3 . Итак, f(x)=x 3
2. D(g)=R, симметричное множество, и g(-x)= g(x) по условию
для любого х равенство выполнено, если b=2. Тогда g(x)=x 2 .
Значения а и b таковы, что f(x)= нечетная, g(x)= четная. Найти af 2 (-5)+bg(-5)
f(x) – четная, g(x) – нечетная. f(x)+ g(x)=2x 2 -7x-5 выполнена . Найти корень или сумму корней уравнения f(x) =g(x)
Четная функция у=f (x) определена на всей числовой прямой. При всех неположительных х значения этой функции совпадают со значениями функции g(x)=x . (x+8), которая также определена на всей прямой. Найдите произведение корней уравнения f (x)+g (x)=18.
Решение. Из условия следует при х 0 функция f(x) определена формулой f(x)=x(x+8)=x 2 +8x, а при х>0, в силу четности f(x), f(x)=f(-x)=-x(-x+8)=x 2 -8x. Уравнение f(x)+g(x)=18 рассмотрим при х 0 и х>0.
При х 0, f (x)+g (x)=2 (x 2 +8x)=18, х 2 +8х-9=0, х 1 =-9, х 2 =1- не удовлетворяет условию х 0. Т. е. при х 0 уравнение f (x)+g (x)=18 имеет один корень, х=-9.
При х>0, f (x)+g (x)=x 2 -8x+x 2 +8x=18, х 2 =9, х 1 =-3, х 2 =3. х 1 =-3 –не удовлетворяет условию х>0, т.е. при х>0 уравнение f (x)+g (x)=18 также имеет один корень, х=3.
Искомое произведение корней равно (-9) . 3=-27.
Четная функция у=f(x) определена на всей числовой прямой. Для всякого не отрицательного значения х значение этой функции совпадает со значением функции g(x) = 13х(2x+1)(7х+6)(4х-9). Сколько корней имеет уравнение f(x) = 0 ?
Решение. У четной функции корни симметричны относительно точки 0. Найдем положительные корни уравнения g(x)=0. Это единственный корень х 1 = х 2 =- -корень уравнения f(x)=0. х 0 =0- корень g(x)=0 х 0 =0 –корень f(x)=0.
y=f(x) четная функция и определена на -6;6. Для неотрицательных чисел f(x)=g(x), где g(x)= (х+2)(х-1)(х-2)(2х-13). Сколько корней имеет уравнение f(x)=0?
Решение: Найдем количество корней на 0;6. Так как функция четная, т.е. её график симметричен относительно оси Оу, то столько же корней и на -6;0. Если х0;6, то f(x)=g(x), а значит (х+2)(х-1)(х-2)(2х-13)=0
х=-2, х=1, х=2, х = =6,5. Итак, если х0;6, то два корня, следовательно на -6;0 тоже два корня.
Для четной функции f(x) и нечетной функции g(x) для всех действительных значений аргумента выполнено равенство f(x)+g(x)=x 2 +3x-2. Найдите значение выражения f(2)-4g(3).
Решение. Если в заданном равенстве заменить переменную х на –х, то, очевидно, оно останется справедливым. Т. е. с учетом определения четности и нечетности имеем f(x)-g(x)=x 2 -3x-2. Решая эти два равенства как систему относительно неизвестных функций, находим f(x)=x 2 -2 и g(x)=3x. Итак, f(2)-4g(3)=2-36=-34.
Четная функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Её график на отрезке [2;5] совпадает с графиком функции y=g(x). Вычислите
Четная функция y=f(x) и нечетная функция y=g(x) определены на всей числовой прямой. Для функции h(x)=8 x +f(x)sinx-g(x) вычислите сумму h(-1)+h(0)+h(1).
Решение: h(x)=8 x +f(x)sinx-g(x)
Так как y= f(x) четная функция, то f(-x)= f(x).
Так как y=g(x) нечетная функция, то g(-x)=- g(x)
h(0)=8 0 + f(0) sin0-g(0)=1+0-0=1, т.к. g(x)- нечетная, то g(0)=0
При каких значениях параметра a функция является четной.
Решение. 1-й случай. Предположим, что при всех значениях аргумента х R. 2 х +а≠0. В этом случае данная функция определена на всей числовой прямой и при всех значениях х f(x) + f(-x) = 0. В частности, должно выполняться равенство f(0) = 0,то есть =0. Отсюда находим единственное возможное значение: а =-3.
Рассмотрим теперь функцию f(x) = . При , f(x) . Если же , то .
Следовательно, эта функция не является нечетной.
2-й случай. Пусть при некоторых значениях аргумента знаменатель обращается в нуль. Такое значение — единственное и равно log 2 (—а). Область определения нечетной функции симметрична относительно точки х (х= 0). Следовательно, знаменатель может равняться нулю только при х = 0. Отсюда находим единственное возможное значение параметра: а =- 1.
В результате приходим к функции f(x). Эта функция является нечетной:
Итак, задача имеет единственное решение а = -1.
Найдите все значения параметра а при которых функция
f(x)= (a-1)x 2 +(a 2 +2a-3)x+1 является четной функцией.
Решение: D(f x )=R, т.е. область определения симметрична относительно 0, а значит для любого х выполняется условие f(-x)=f(x)/
(a-1)x 2 +(a 2 +2a-3)x+1=(a-1)x 2 - (a 2 +2a-3)x+1, упростив, получим
2(a 2 +2a-3)х=0 для любого действительного числа х. Итак, а= -3, а=1
При каких а уравнение х 2 -2а sin(cos х)+а 2 =0 имеет единственное решение.
Решение: Левая часть данного уравнения f(x)= х 2 -2а sin(cos х)+а 2 есть четная функция относительно х. Если х 0 – корень этого уравнения, то и (-х 0 ) тоже корень. Условие «имеет единственное решение» выполнено, если корни совпадают. Итак, х 0 = - х 0 , т.е. х 0 =0. А тогда, если корень есть, то он обязательно 0.
Если х=0, то 0 2 -2аsin(cos0)+a 2 =0
Докажем, что при этих а нет других корней.
Если а=0, то х 2 =0 или х=0, и это единственный корень
Если a=2sin1, то х 2 -4 sin1sin(cosх)+4sin 2 1=0
х 2 +4sin 2 1=4 sin1sin(cosх) (*)
Оценим левую и правую часть:
х 2 +4sin 2 1 4sin 2 1
-1 cosx 1, на -1;1 функция возрастает, тогда наибольшее значение функция достигает когда cosx=1, т.е 4 sin1sin(cosх) 4 sin1sin1= 4sin 2 1.
Итак, условие (*) выполняется, если левая и правая части равны 4sin 2 1
Ответ: а = 0, а = 2sin1
При каких а уравнение х 4 -х 2 +а 2 -3а=1 имеет три различных корня.
Решение : Функция f(x)= х 4 -х 2 +а 2 -3а-1 четная относительно х, и имеет три различных корня , если один из них кратный. Если х 0 корень, то и –х 0 тоже корень, а значит х 0 =0.
При х 0 =0 получим а 2 -3а-1=0, т.е. а 1,2 = .
При а 1,2 = получим уравнение х 4 -х 2 =0 или х 2 (х 2 -1)=0 или
х=0, х=1,х=-1, т.е. три корня.
Функция f ( x ) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место:
f ( x + T ) = f ( x ). Число Т называется периодом функции. Наименьший положительный период называется основным (главным) периодом. Из равенства f ( x + T ) = f( x ) следует, что для всякого хD f и (х+Т) D f , т.е. D f - периодическое множество. Все тригонометрические функции являются периодическими.
Если Т>0 период функции f(x), то и nT- тоже период, nZ
Если Т>0 период функции f(x), то функция f(kx+b) имеет период . Если Т 0 – основной период f(x), то основной период функции f(kx+b)
Если Т 1 >0 основной период f(x), Т 2 >0 основной период g(x), и является рациональным числом (mZ, nN), то для любой комбинации kf(x)+ pg(x) основным периодом является Т=НОК(Т 1 ; Т 2 )
Периодическая функция не может иметь конечное число разрывов, их бесконечно много
Если х 0 D(f(x)) периодической функции, то x 0 +nT (nZ) тоже принадлежит D(f(x)).
Периодическая функция каждое свое значение принимает в бесконечном числе точек.
На предложенных рисунках найдите периодические функции, определите основной период.
Пусть у = f(x) - функция с периодом 4, определенная для всех действительных значений х, причем f(3)=5; f(4)=11; f(5)=9; f(6)=0. Сравните:
а) f(1) и f(31); б) f(11) и f(110); в) f(-17) и f(831); г) f(6+ ) и f( -6).
Функция у= f(x) – периодическая, с периодом Т=2. Известно, что
f(0)=-5. Вычислите: f(2), f(-22), f(12k+8), f(4-8k), где k – некоторое целое число.
Функция у= f(x) – периодическая, с периодом Т=3. Известно, что
f(5)=1, f(-8)=3, а на отрезке [1;2] эта функция совпадает с y=ax+b.
На отрезке [1;2] f(x) =ax+b, тогда или , тогда
y=-2x+5 искомая функция. Вычислим f(-4,5). Но -4,5[1;2]
Функция y=f(x) c T=4 на (-1;3] совпадает с функцией y=x-a . Известно, что f(-7)=3, f(10)=2. Найти f(13,5).
На (-1;3] y=f(x) совпадает с функцией y=x-a .
или или Итак, а=4, получим функцию y=x-4.
Периодическая функция у =f( x ) с периодом 4 определена на всей числовой прямой. Ее график на полуинтервале [0;4) совпадает с графиком функции у =( х +1) · ( х -4) · ( х -3) · (2 х -1). Сколько корней имеет уравнение f ( x )=0 на отрезке [-6;0]?
Решение . Найдем нули функции у =( х +1) · ( х -4) · ( х -3) · (2 х -1) на полуинтервале [0;4).
x +1=0, х =-1, -1 [0;4) ; х -4 = 0, х = 4, 4 [0;4);
х -3=0, х =3, 3 [0;4); 2 х -1=0, х = , [0;4).
Полуинтервалу [0;4) принадлежат только два числа. Исследуем число корней уравнения f ( x ) = 0 на отрезке [ -6; 0 ] , зная , что Т = 4.
х =3, 3-4=-1, -1 [ -6; 0 ] ; -1 –4 = -5 , -5 [ -6; 0 ];
х = , - 4 = -3,5, -3,5 [ -6; 0 ]; -3,5 – 4 = -7,5, -7,5 [ -6; 0 ] .
Итак, на отрезке [ -6; 0 ] уравнение f ( x ) = 0 имеет три корня.
Периодическая функция у=f(x) с периодом 5 определена на всей числовой прямой. Ее график на полуинтервале [ -2; 3) совпадает с графиком функции у=(х+1)(4х 2 -25)(х+2)(х-10). Сколько корней имеет уравнение f(x) = 0 на промежутке [7; 11) ?