Формулы расчета параллельного колебательного контура

Параллельный колебательный контур в радиотехнике используется как основа частотно-избирательных цепей и встречается намного чаще последовательного. Реальные элементы контура обладают потерями и при анализе цепи используется реалистичная модель из идеальных сосредоточенных элементов в которой потери учитываются с помощью «виртуальных» последовательных активных сопротивлений R L и R C .

Собственная паразитная емкость катушки обычно не учитывается, т. к. она просто суммируется с контурной. Программа Coil32 рассчитывает потери в проводе катушке RL без учета потерь в каркасе, экране, сердечнике и во всех предметах, с которыми взаимодействует окружающая катушку электромагнитная волна. Однако, учитывается скин-эффект и эффект близости. Эти же потери учитывает параметр «конструктивная добротность катушки» - QL. Это не добротность всего контура, а добротность катушки, которая связана с ее сопротивлением потерь следующим соотношением:

Потери в контурном конденсаторе на порядок меньше и характеризуются добротностью конденсатора. Поскольку потери конденсатора сосредоточены в основном в диэлектрике, можно считать, что его добротность QC и сопротивление потерь RC связаны с параметром, учитывающем потери в диэлектрике tgδ, следующим образом:

При анализе цепи часто ее преобразуют в эквивалентную параллельную RLC-цепь. В этом случае, заменяя сопротивления проводимостями, мы упрощаем анализ и получаем формулы идентичные формулам последовательного контура. Многие радиолюбители полагают, что последовательные RL и RC просто преобразуются в параллельное R. Это не так:

Как видим активные сопротивления и реактивности при таком преобразовании «перепутались», поэтому для наглядности проведем анализ без использования проводимостей, прямо по исходной схеме. Входное сопротивление двухполюсника получается следующим:

Активная и реактивная (мнимая) составляющие:

При резонансе токи в реактивных элементах (IL, IC) в Q раз больше общего тока цепи (I), поэтому для параллельного контура явление носит название резонанса токов.

Резонансная частота параллельного колебательного контура — это частота, при которой реактивная составляющая входного сопротивления равна нулю, входное сопротивление чисто активно, и, соответственно, фазовый сдвиг между током и напряжением на входных зажимах цепи тоже равен нулю. Приравняв Xвх к нулю и проведя соответствующие преобразования получим следующую формулу для резонансной частоты параллельного колебательного контура:

Один из важнейших параметров контура - его характеристическое сопротивление:

ρ = √ L/C [4]

Формулу резонансной частоты можно представить иначе:

ω 0 - резонансная частота последовательного колебательного контура.

Как видим резонансная частота параллельного колебательного контура равна резонансной частоте последовательного колебательного контура, составленного из тех же элементов, с добавкой поправочного коэффициента √ [(L/C - RL^2)/(L/C - RC^2)] . На практике этот коэффициент всегда близок к единице и равен единице если RL=RC или RL=RC=0.

Имеем контур с индуктивностью 3μГн и емкостью 42пФ, сопротивление потерь катушки — RL=2 Ом, конденсатора — RC=0.1 Ом. По формуле Томпсона резонансная частота контура равна 14.178649 МГц, точно вычисляем по формуле [1] — 14.178253 МГц. Как видим, активные сопротивления потерь вносят в идеальный контур дополнительную ре а ктивность и уводят его частоту вниз, в данном случае почти на 400 Гц.

Это совсем небольшое отклонение нужно иметь ввиду, но оно намного меньше отклонений, вносимых неучтенными паразитными емкостями. Поэтому при выполнении условий: R L << ρ, R C << ρ , что обычно бывает на практике, можно считать, что условия резонанса токов совпадают с условиями резонанса напряжений в последовательном контуре, составленном из тех же элементов L и C,

ω 0 = 1/√ LC или ƒ 0 = 1/(2π√ LC )

На этом "родственная схожесть" последовательного и параллельного контуров не заканчивается.При выполнении тех же условий: R L << ρ , R C << ρ где Z вх.посл = (R L + R C ) + j(ωL - 1 ⁄ ωC) – входное сопротивление последовательного контура, составленного из тех же элементов.

Как видим, можно считать, что сопротивления потерь катушки и конденсатора суммируются, поэтому общую добротность контура Q можно определить следующим выражением:

На резонансной частоте ω0:

Поскольку реактивные сопротивления взаимно компенсируются, контур на резонансной частоте имеет чисто активное сопротивление равное Rэ (эквивалентное или эффективное сопротивление контура).

Из последней формулы следует, что:

Т.е. добротность контура равна отношению его характеристического сопротивления к сопротивлению потерь. Иначе говоря, на данной частоте более добротным будет контур с меньшей емкостью и большей индуктивностью. Как же тогда соотносится добротность контура с конструктивной добротностью катушки? Чтобы понять это, следует иметь ввиду, что характеристическое сопротивление контура численно равно модулю реактивного сопротивления индуктивности или емкости на резонансной частоте. Последние, как известно, в этом случае равны и отличаются лишь знаком. Если мы пренебрежем потерями в конденсаторе, тогда формула [8] сводится к формуле [1]. Ведь на резонансной частоте ρ = |XL|, а в сумме RΣ = RL + RC, последнее слагаемое мы не учитываем. Другими словами, если пренебречь потерями в конденсаторе, то добротность контура равна конструктивной добротности катушки. В итоге мы приходим к выводу, что формулы [1] и [8] в этом случае эквивалентны. Если же нам необходимо учесть потери в конденсаторе, то следует использовать формулу [6].

Необходимо отметить два важных момента:

1. Coil32 рассчитывает конструктивную добротность для "голой катушки в вакууме". Наличие экрана увеличивает распределенную емкость и уменьшает индуктивность. Характеристическое сопротивление контура падает, добротность уменьшается. Кроме этого добавляются потери на вихревые токи в экране. Каркас катушки также снижает ее добротность и добротность контура соответственно.
2. Добротность катушки растет с ростом частоты только на "низких" частотах, далеких от частоты собственного резонанса катушки. При приближении к собственному резонансу добротность достигает максимума на частотах 60-85% от Fsrf и затем плавно снижается. Это происходит от того, что на этих частотах начинает проявлятся зависимость индуктивности и собственной емкости катушки от частоты.

Амплитудно-частотная характеристика имеет такой же вид, как и резонансная кривая последовательного контура; ФЧХ представляет собой зеркальное отображение ФЧХ последовательного контура.

Важно понятие полоса пропускания контура Это частотный интервал в пределах которого импеданс Z вх не ниже 1 ⁄ √ 2 (или 0,707) от максимального на резонансной частоте. Справедлива следующая формула, которую можно использовать для измерения добротности:

Q = f 0 /Δf [9]

В практике представляет интерес величина ослабления контуром нежелательных частот:

Для расстроек более трех полос пропускания формула упрощается:

где знак не учитывается.

В реальной схеме контур связан с источником колебаний и нагрузкой, которые вносят в него дополнительные потери, снижающие добротность. Эквивалентная добротность Q параллельного колебательного контура :

• Q 0 - добротность ненагруженного контура
• Ri - входное сопротивление источника
• Rэ - эквивалентное сопротивление ненагруженного котура

Эту формулу можно использовать для учета влияния любых подключенных к контуру сопротивлений (например, нагрузки) на его добротность.

Для уменьшения влияния внешних цепей, а также для трансформации сопротивлений применяют частичное включение нагрузки в контур

Как видно из рисунка это можно сделать различными способами, отводом от катушки, с помощью катушки связи, емкстным делителем. Тогда выходное сопротивление контура: R вых = p 2 R э где p – коэффициент связи. Для емкостного делителя: p = C 1 ⁄ (C 1 + C 2 ) Для индуктивной связи: p = M ⁄ L где M — полная взаимоиндуктивность между L c и L (это относится как к случаю с отводом катушки так и к случаю с катушкой связи). Следует отметить, что коэффициент связи не равен отношению числа витков, как в трансформаторе, поскольку каждый виток катушки L c пересекается не всеми силовыми линиями катушки контура вследствие рассеяния магнитного поля. При подключении внешней нагрузки к контуру с помощью частичного включения, результирующая добротность определяется: Q = Q 0 ·R u ⁄ (R э + R u )

R u = p 2 R i (R i – внешняя нагрузка)

Следует отметить, что для максимального коэффициента передачи электромагнитной энергии, выходное сопротивление контура должно быть равно сопротивлению нагрузки. Все вышесказанное справедливо и в случае согласования контура с источником сигнала.