Пример 8. Найти область сходимости степенного ряда
поэтому он заведомо сходится при х=2 (в центре ряда). При любых других значениях х исследуемый ряд можно привести к виду , посколькух не зависит от n и, следовательно, общий множитель можно вынести за знак суммы. Сделаем замену переменнойy=(x-2) 2 ; тогда
(y>0). Этот ряд сходится при y<R, где . Приy=1 имеем ряд , который сходится как ряд Дирихле.
Таким образом, исследуемый ряд сходится при (х-2) 2 1, т.е. х-21, т.е. 1х3.
Областью сходимости ряда является замкнутый промежуток [1;3].
Пример 9. Найти область сходимости ряда .
Решение. Сделаем замену переменной . Тогда задача сводится к исследованию сходимости степенного ряда . Радиус сходимости найдем по формуле Коши: . Приy= имеем ряд , который расходится как ряд Дирихле (р=1/2). Приy= получаем знакочередующийся ряд , который сходится (по признаку Лейбница).
Таким образом, исследуемый ряд сходится при y , т.е. , откуда получаем условиеx>3 или x-3.
Область сходимости исследуемого ряда есть объединение двух лучей
(- -3] (3; ). Графически:
Решить: Найти промежуток сходимости функционального ряда:
A 1) 2) 3) ;
B 15) 16)
(В последних задачах при подстановке граничных точек получаются числовые ряды, для исследования которых недостаточно приведенных в данном пособии признаков, так что эту часть решения выполнять не требуется)
B Вычисление сумм степенных и числовых рядов
Внутри области сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать, т.е. если
Это позволяет во многих случаях вычислять сумму степенного ряда, учитывая, что сумма ряда бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле
Пример 1. Найти сумму ряда
Решение: Обозначим . Тогда внутри интервала сходимости данного ряда имеем:
Полученный ряд является рядом геометрической прогрессии, причем
b1=1, q=x. Следовательно, . Далее,
Пример 2. Найти сумму ряда .
Решение. При дифференцировании данного степенного ряда мы не получим ряд геометрической прогрессии, т.к. не сокращается знаменатель 2n-1. Представим данный ряд в виде
и найдем сумму ряда :
Пример 3. Найти сумму ряда
Решение. Представим данный ряд в виде:
Найдем сумму ряда S1(x), предварительно проинтегрировав его:
. Тогда искомая сумма ряда .
Пример 4. Найти сумму ряда .
Решение. Рассмотрим степенной ряд .
При х=1 этот ряд принимает вид данного числового ряда, поэтому искомая сумма числового ряда есть S(1). Найдем S(x):
Решить: Найти сумму ряда:
Разложение функций в степенные ряды
Если функция f(x)имеет на некотором интервале, содержащем точкуа, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
где rn – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число заключено между х и а.
Если для некоторого значения х rn0 при n, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора:
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
она имеет производные всех порядков;
построенный ряд сходится в этой точке.
При а=0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена:
Пример 1. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=2 x .
Решение. Найдем значения функции и ее производных при х=0
f(x) = 2 x , f(0) = 2 0 =1;
f(x) = 2 x ln2, f(0) = 2 0 ln2= ln2;
f(x) = 2 x ln 2 2, f(0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
f (n) (x) = 2 x ln n 2, f (n) (0) = 2 0 ln n 2= ln n 2.
Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:
Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -<x<+.
Пример 2. Написать ряд Тейлора по степеням (х+4) для функции f(x)=e x .
Решение. Находим производные функции e x и их значения в точке х=-4.
f(x) = е x , f(-4) = е -4 ;
f(x) = е x , f(-4) = е -4 ;
f(x) = е x , f(-4) = е -4 ;
f (n) (x) = е x , f (n) ( -4) = е -4 .
Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:
Данное разложение также справедливо для -<x<+.
Пример 3. Разложить функцию f(x)=lnx в ряд по степеням (х-1),
( т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х=1).
Решение. Находим производные данной функции.
Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:
С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при
х-1<1. Действительно,
Ряд сходится, если х-1<1, т.е. при 0<x<2. При х=2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].
Приведем полученные подобным образом разложения в ряд Маклорена (т.е. в окрестности точки х=0) для некоторых элементарных функций:
(последнее разложение называют биномиальным рядом)
Пример 4. Разложить в степенной ряд функцию
Решение. В разложении (1) заменяем х на –х 2 , получаем:
Пример 5. Разложить в ряд Маклорена функцию
Пользуясь формулой (4), можем записать:
подставляя вместо х в формулу –х, получим:
Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим
Этот ряд сходится в интервале
(-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.
Замечание.
Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t=х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.
Этот метод иллюстрирует теорему о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.
Пример 6. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точких=3.
Решение. Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х=3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):
Полученный ряд сходится при или –3<x-3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Пример 7. Написать ряд Тейлора по степеням (х-1) функции .
Ряд сходится при , или -2 <x 5.
Пример 8. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точкиx=2.
Решение. Сделаем замену t=х-2:
Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим , получим: