Борис Васильевич Федосов (1938-2011)
1 октября 2011 г. ушёл из жизни выдающийся русский математик Борис Васильевич Федосов. Б.В.Федосов внёс существенный вклад в теорию уравнений с частными производными и дифференциальную геометрию. Его фундаментальные результаты, относящиеся к теории индекса и деформационному квантованию, получили мировое признание, а термины «квантование Федосова» и «связность Федосова» в настоящее время общеприняты.
Б.В.Федосов родился 22 июня 1938 года в селе Софиевка Запорожской области. В Софиевке и окрестных сёлах жили болгары, предки которых переселились в Новороссию в 19 веке, спасаясь от турецкого ига; Борис Васильевич был по происхождению болгарин. Его отец, Василий Ильич Федосов, 1898 года рождения, инженер, погиб во время террора 1937 года, ещё до рождения сына. Мать, Анна Николаевна Главчева, 1908 года рождения, была учительницей русского языка и литературы. Жизнь её вдвоём с сыном была нелёгкой. Она была одарённым педагогом; её уроки превращались в яркие спектакли, на которые приходили и свободные от занятий коллеги.
Интерес к музыке и математике появился у мальчика одновременно. Когда пришло время выбора будущей профессии, он затруднялся, чему отдать предпочтение: скрипке или математике. Педагоги прочили ему блестящее музыкальное будущее. Как рассказывал Борис Васильевич, он решил, что надёжнее доверить свою судьбу голове, а не пальцам. В 1955 он окончил школу с золотой медалью в городе Никополе Днепропетровской области и поступил в Московский физико-технический институт (МФТИ). Сменив впоследствии скрипку на гитару, он всегда был душой общества. Их семейный дуэт с Еленой Станиславовной доставлял радость многим математикам.
Будущей специальностью Б.В.Федосов первоначально избрал вычислительную технику. Однако на старших курсах он всё более отчётливо стал понимать ошибочность этого выбора и «нелегально» изучал математику. И хотя он окончил институт по специальности «Математические и счётно-решающие приборы и устройства», его дипломная работа была по теоретико-множественной топологии. Тему предложил И.А.Бочек, ученик П.С.Александрова, который вёл у Федосова математику на младших курсах.
В 1961 году, после окончания института, Б.В.Федосов был принят в аспирантуру МФТИ на кафедру высшей математики к В.Б.Лидскому, которого Борис Васильевич считал своим главным учителем. В 1964 году Борис Васильевич окончил аспирантуру и был принят ассистентом на ту же кафедру. Тогда же он защитил кандидатскую диссертацию на тему «Асимптотические формулы для собственных значений оператора Лапласа на многограннике» в Математическом институте им. В.А.Стеклова [1]. Официальными оппонентами были А.Г.Постников и М.А.Наймарк. В связи с болезнью Наймарка Учёный совет назначил дополнительного оппонента - В.С.Владимирова.
Б.В.Федосов проработал на кафедре высшей математики МФТИ в течение 30 лет (с 1969 года - доцентом). В его обязанности входили семинарские занятия, подготовка материалов к приёмным экзаменам и студенческим математическим олимпиадам. Он читал курсы «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Теория функций комплексного переменного», «Уравнения математической физики», прочитал несколько спецкурсов и вместе с В.Б.Лидским вёл семинар по функциональному анализу.
В Московском университете Б.В.Федосов был постоянным участником семинаров М.И.Вишика по уравнениям в частных производных и И.М.Гельфанда по функциональному анализу. Научные интересы Бориса Васильевича сначала были связаны с асимптотическим распределением собственных значений краевых задач для оператора Лапласа. Вместе с Н.В.Кузнецовым, другим аспирантом В.Б.Лидского, он доказал существование второго члена асимптотики для областей, допускающих разделение переменных в полярных координатах [2]. Это был первый результат в проблеме второго члена (не считая классического теоретико-числового результата для числа целых точек в круге), полученный задолго до общей теоремы В.Я.Иврия.
В 1960 году И.М.Гельфанд поставил вопрос о нахождении и интерпретации всех гомотопических инвариантов эллиптических краевых задач, частным случаем которого был вопрос о вычислении индекса эллиптического оператора на замкнутом многообразии в терминах топологических инвариантов. Статья Гельфанда стимулировала построение теории псевдодифференциальных операторов и псевдодифференциальных эллиптических задач и привлекла к проблеме вычисления индекса многих математиков. Для операторов на замкнутом многообразии ее решили Атья и Зингер, на многообразии с краем - Атья и Ботт.
По словам Бориса Васильевича, Всемирный математический конгресс, проходивший в 1966 году в Москве под знаком триумфа теоремы Атьи-Зингера, вызвал у него интерес к проблеме индекса, который сохранялся потом всю жизнь.
Б.В.Федосов предложил новый аналитический подход к проблеме индекса, в котором помимо аналитического и топологического индексов рассматривается некая промежуточная ступень - алгебраический индекс. При этом дифференциальный или псевдодифференциальный оператор заменяется дифференциально-геометрическим объектом на многообразии - так называемым формальным символом. Формальные символы - это формальные степенные ряды по степеням постоянной Планка, преобразующиеся при замене локальных координат по закону, моделирующему преобразование полного символа псевдодифференциального оператора. Вообще говоря, по формальному символу нельзя построить псевдодифференциальный оператор, однако алгебраические соотношения для операторов сохраняются и для формальных символов. Формальные символы образуют некоммутативную алгебру, в которой выделяется идеал, где определён формальный след. Эллиптичность формального символа определяется как существование обратного с точностью до элементов идеала, а алгебраический индекс вводится как разность следов и (эта формула была «фольклорной» среди специалистов). Это не число, а формальный ряд. Переход от аналитического к алгебраическому индексу - это относительно простая задача, которая решается полностью средствами анализа. Второй переход - от алгебраического к топологическому индексу - это задача из области некоммутативной дифференциальной геометрии, как сказали бы сегодня. Она более сложная, чем первый переход, и в то время (начало 1970-х) Б.В.Федосову удалось её решить только для операторов в [4]. Здесь был предложен метод усреднения, который переводит умножение символов в некоторое новое умножение матричнозначных дифференциальных форм. Впоследствии Д.Квиллен и Й.Кунтц дали ему название «произведение Федосова» и выяснили его важную роль в некоммутативной дифференциальной геометрии.
Теорема Федосова об индексе в получила широкую известность благодаря тому, что Л.Хёрмандер переизложил её (без использования формальных символов) и включил в свою книгу «Анализ линейных операторов с частными производными» (1985). Борису Васильевичу все советовали немедленно защищать докторскую, но он не был удовлетворён, так как в общем случае переход от алгебраического индекса к топологическому ему не удавался, и он думал, что вот-вот его доделает. Как он потом признавался, это было наивно. Он тогда не предполагал, что для этого перехода потребуется создать новую теорию (циклические когомологии). Борис Васильевич продолжал изучать алгебру формальных символов. В работе [6] предвосхищались некоторые результаты некоммутативной дифференциальной геометрии, полученные M.Каруби в 1980-х годах. Но, как позднее с иронией отмечал Борис Васильевич, на эту работу не нашлось своего Хёрмандера. Удобство использования алгебраического индекса проявилось при рассмотрении эллиптических краевых задач, где Б.В.Федосовым были получены явные аналитические формулы [5].
В 1970 г. И.М.Зингер представил обширную программу, целями которой являлось распространение теории эллиптических операторов и их индекса на более общие ситуации негладких многообразий и пространств с особенностями и переосмысление её в контексте, когда роль индекса может играть не целое число, а вещественное. На многообразиях с коническими точками (или цилиндрическими концами) чёткие функциональные рамки для эллиптических задач были ранее (1967) построены В.А.Кондратьевым, так что имеет смысл обычный фредгольмов индекс. Вещественное число в качестве индекса может появиться, когда теряется фредгольмовость операторов (например, для операторов в с периодическими коэффициентами). В основу нового определения понятия индекса кладётся интегральная формула в терминах параметрикса, указанная выше, с заменой обычного следа оператора на некоторую регуляризацию. В [7] Б.В.Федосов совместно с М.А.Шубиным развил теорию индекса случайных псевдодифференциальных операторов (и семейств операторов) на с определённым свойством однородности относительно сдвигов. Здесь индекс является случайной величиной. При этом в эргодическом случае индекс оказывается константой почти всюду, т.е., вещественным числом, но здесь нет никакой целочисленности. И снова возможность манипулировать с формальными символами вместо операторов сыграла решающую роль.
Работы Б.В.Федосова, принёсшие ему наибольшую известность и всемирное признание, связаны с проблемой деформационного квантования. В наиболее широком смысле под квантованием понимается построение квантовой системы, соответствующей данной классической системе. Наблюдаемые в классической механике отождествляются с гладкими вещественнозначными функциями на симплектическом многообразии, которые образуют коммутативную алгебру. Традиционный квантовый формализм сопоставляет функциям операторы в гильбертовом пространстве. Ф.А.Березин (1975), а затем М.Флато и др. (1978) предложили понимать под квантованием деформацию структуры алгебры классических наблюдаемых. Эта идея восходит фактически ещё к П.Дираку.
Исследование алгебры формальных символов привело Б.В.Федосова к мысли, что аналогичную ей алгебру можно определить на произвольном симплектическом многообразии. В 1985 г. Федосов пришёл к замечательной геометрической конструкции деформационного квантования [8]. Теорема существования деформационного квантования для симплектических многообразий была ранее доказана M.дё Вильдом и П.Лёконтом (1983), однако конструкция Б.В.Федосова выгодно отличается простотой и изяществом. Ключевой момент - индуктивное построение канонической плоской связности в расслоении формальных алгебр Вейля («связности Федосова») по заданной симплектической связности без кручения. Ковариантно-постоянные сечения образуют алгебру «квантовых наблюдаемых», а их умножение задает деформацию обычного коммутативного умножения функций. Таким образом на любом симплектическом многообразии получается каноническое деформационное квантование, которое строится однозначно по симплектической связности и не требует никаких других выборов («квантование Федосова»). Однако теория Федосова идёт гораздо дальше. В определённой им алгебре квантовых наблюдаемых на симплектическом многообразии Федосов ввел алгебраический индекс и доказал теорему об индексе [9], аналогичную теореме Атьи-Зингера. В простейших случаях индекс оказывается полиномом по обратным степеням постоянной Планка, которая в деформационном квантовании является формальным параметром. В других версиях квантования постоянная Планка - положительный числовой параметр, удовлетворяющий так называемым условиям квантования, которые в деформационном квантовании теряют смысл, их в принципе не может быть. Б.В.Федосов даёт простое объяснение этим условиям квантования: они появятся, если попытаться представить алгебру наблюдаемых с помощью операторов, зависящих от малого числового параметра; а именно, всевозможные индексы должны быть целыми числами [10]. При выполнении этих необходимых условий Б.В.Федосов построил такое асимптотическое операторное представление, используя результаты М.В.Карасева и В.П.Маслова. Оказалось, что условия целочисленности индекса приводят в рамках квантования Федосова к дискретизации значений постоянной Планка, формулам Вейля для размерностей представлений групп, формулам для кратностей собственных значений и т.д.
Публикации Б.В.Федосова по деформационному квантованию на русском языке [8]-[11] до определённого времени оставались малоизвестными для зарубежных математиков. Положение изменилось, когда в 1992 году Б.В.Федосов получил приглашение в Массачусетский технологический институт (MIT) на осенний семестр. Результаты Федосова получают мировой резонанс. Среди тех, кто их развивал, можно упомянуть А.Вайнстейна и П.Делиня. Вайнстейн делает доклад на семинаре Н.Бурбаки, посвящённый в основном результатам Федосова. Федосов получает грант Американского Математического общества. В MIT защищаются две диссертации, развивающие его тематику (О.С.Кравченко и А.Б.Асташкевич). У него появляется аспирант, выпускник МФТИ Д.Е.Тамаркин (вскоре он по предложению Б.В.Федосова поступает в аспирантуру Пенсильванского университета под руководство Б.Л.Цыгана). Б.В.Федосова приглашают в качестве лектора в международную школу по деформационному квантованию (Ницца, 1996). Его работа [12] была удостоена ``Featured Review'' в Math. Reviews как одна из выдающихся публикаций 1995/96 годов. В работе И.М.Гельфанда, В.С.Ретаха и М.А.Шубина (1998) вводятся и изучаются «многообразия Федосова».
После Федосова следующий крупный шаг в деформационном квантовании сделал М.Л.Концевич, получивший «теорему формальности» и, как следствие, существование деформационного квантования на произвольном пуассоновом многообразии (1997). Альтернативное доказательство теоремы Концевича было дано Д.Е.Тамаркиным в 1998 г. Геометрическая конструкция деформационного квантования Б.В.Федосова и его теоремы об индексе послужили основой многочисленных работ В.Гийемина, Р.Неста и Б.Л.Цыгана, А.Вайнстейна и других. На их основе были доказаны новые теоремы об индексе для -модулей и интегральных операторов Фурье, а также общая теорема об индексе в деформационном квантовании, объединяющая методы Федосова с теоремой формальности Концевича. Была построена формальная модель квантования Березина и найдена связь квантования Федосова с известным в квантовой теории поля BRST-квантованием («Бекки-Руэ-Стора-Тютин») калибровочных систем.
Среди работ самого Федосова 1990-х годов отдельно стоит статья [13], в которой получено обобщение теоремы Атьи-Ботта-Лефшеца о неподвижной точке. Вместо геометрических эндоморфизмов рассматриваются гамильтоновы потоки, для которых теорема элегантно получается применением метода стационарной фазы.
С 1993 года начинается тесное сотрудничество Б.В.Федосова с рабочей группой по уравнениям в частных производных при Потсдамском университете, руководимой Б.-В.Шульце. Там Борис Васильевич пишет книгу по деформационному квантованию и теории индекса [16]. С этого времени он почти всё время на гостевых позициях за рубежом и в 1995 году был вынужден оставить МФТИ. Первый заметный вклад Б.В.Федосова в развитие школы по анализу в Потсдамском университете относится к работе [15], где было дано простое доказательство формулы Водзицкого для некоммутативного вычета в алгебре псевдодифференциальных операторов на замкнутом многообразии и построен некоммутативный вычет на алгебре псевдодифференциальных краевых задач Буте дё Монвеля.
Для псевдодифференциальных операторов на многообразиях с особенностями эллиптичность определяется как обратимость главного символа и оказывается эквивалентной фредгольмовости в подходящих пространствах Соболева с весом. Компоненты главного символа, отвечающие стратам разных размерностей, являются в общем случае операторнозначными, что затрудняет построение алгебры формальных символов. Наибольший интерес представляют формулы, выражающие (фредгольмов) индекс эллиптического оператора через его главный символ. Б.В.Федосов вычислил индекс эллиптических операторов на двумерных многообразиях с точечными особенностями [18]. Вопрос об индексе общих эллиптических операторов на многообразиях с особенностями пока остается открытым даже для многообразий с коническими точками.
В 1999 году Б.В.Федосов получает трёхгодичный грант Министерства высшего образования и исследований Франции для работы в лаборатории математической физики Бургундского университета в Дижоне, руководитель которой, M.Флато, был одним из основоположников деформационного квантования. Главным направлением деятельности Бориса Васильевича становится спектральная интерпретация формулы для индекса. Спектральные задачи в их буквальном понимании лишены смысла в рамках деформационного квантования. Федосов предложил их переформулировку, основанную на теореме об индексе. Основная идея заключается в рассмотрении единичного элемента в алгебре квантовых наблюдаемых на компактном симплектическом многообразии и его следа, который может быть интерпретирован как индекс [22]. Задача на собственные значения на языке деформационного квантования переформулируется так. Для заданного числа требуется найти все значения постоянной Планка , при которых индекс принимает положительные целые значения.
В работе [25] на примере двумерного гармонического осциллятора в резонансном случае показывается, что теорема об индексе для симплектических орбифолдов даёт правильные уровни энергии.
В [26] рассматриваются спектральные задачи, прототипом которых в теории псевдодифференциальных операторов являются спектральные асимптотики при . Упомянем в этой связи метод приближённого спектрального проектора В.Н.Туловского и М.А.Шубина, который состоит в том, что ступенчатая функция от оператора заменяется сглаженной ступенькой с последующим применением техники псевдодифференциальных операторов. В [26] вместо сглаживания строится алгебра со следом, в которой ступенчатая функция является полноправным элементом и, более того, единицей в этой алгебре. Тогда, с одной стороны, след этого единичного элемента можно понимать как след спектрального проектора (точного, а не приближенного), а с другой стороны, это есть индекс, для которого теорема об индексе дает явное выражение. Условие квантования состоит в том, что этот индекс должен быть равен натуральному числу - размерности спектрального подпространства.
В 2004 г. Борис Васильевич вернулся в Россию и был принят доцентом на кафедру высшей математики в Московский институт электронной техники, где работал с такой же требовательностью к себе, как и раньше на физтехе. Он продолжает исследования по спектральной теории в деформационном квантовании и пишет работы [27,28], но уже неохотно участвует в международных конференциях и неизменно продолжает думать над прямым доказательством теоремы об индексе в деформационном квантовании, т.е. над вычислением плотности следа на алгебре квантовых наблюдаемых, которое непосредственно ведёт к формуле для индекса (первые три члена разложения были им найдены в [24]). Его работу [29], к которой он, видимо, возвращался и летом 2011 года, следует рассматривать как отчёт о его шагах в направлении доказательства.
Судьба, во многом в лице Елены Станиславовны, сохранила Бориса Васильевича от нескольких несчастий. Когда в апреле 2011 гoда мы узнали о тяжёлой болезни Бориса Васильевича, то не верилось, что с недугом не удастся справиться. Но чуда не произошло. До последнего дня он вел себя мужественно и благородно. Он понимал неизбежность ухода и постарался привести в порядок все свои дела.
В личности Бориса Васильевича сочетались грандиозность его масштаба как ученого, очевидная для всех, его знавших, и присущие ему редкая скромность и деликатность, при всяком отсутствии искусственной эффектности. Борис Васильевич был неподражаемо притягательным человеком. В наших сердцах он остаётся всегда живым.