Задача 1. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений выражения 4 + 3x x на

1 Задача 1. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений выражения 4 + 3x x на отрезке ; 2. (4 балла) Найдем значение функции на концах отрезка. При x = значение функции 4 + 3x x =, при x = 2, значение функции 4 + 3x x = 6 < 2,5. Найдем значение функции в точке экстремума (в вершине графика квадратичной функции, стоящей под знаком корня) 9 y в = 4 4 ( 1) = 25 4 = 5 2. Тогда max y =, min y =. Комментарий. Если нам необходимо найти наибольшее или наименьшее значение квадратичной функции на отрезке, то можно воспользоваться следующими свойствами параболы: координаты вершины параболы (x в, y в ) соответствуют точке минимума, если ветви параболы идут вверх, если ветви параболы идут вниз, то соответствую точке максимума; у параболы ветви, которой направлены вверх (вниз), чем дальше от оси симметрии x = x в находится точка, тем меньше (больше) значение функции в ней и наоборот, чем ближе точка к оси симметрии, тем больше (меньше) значение функции в ней. В нашем случае точка x = находится дальше от оси симметрии x =, чем точка x = 2, следовательно, минимум там, и значение функции при x = 2 находить надобности не было. Ответ: 4. Задача 2. Найдите значение выражения x x x при x = 4. (3 балла) x x x Ответ: 16. = x x x = x x = x x = x = x = 4 = 4 = 4 = 16. Задача 3. К графику функции y = + x + 7 проведена касательная, составляющая с осью оси Ox угол, равный arctg 2. Найдите абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ox. (5 баллов) Составим уравнение касательной к графику данной функции, для этого воспользуемся уравнением касательной вида: y = f (x )(x x ) + f(x ), где x ; f(x ) точка касания. Найдем производную: y = (4x + x + 7) = 8x + 1 = + 1. Так как угловой коэффициент касательной k = tgα = f (x ), где α = arctg 2 по условию задачи, то f (x ) = tg(arctg 2) = 2. Найдем x из уравнения: 8 x + 1 = 2,

2 f(x ) = = 6. 8 x = 1, x = 8, x = 2. Уравнение касательной примет вид: y = 2x Найдем точку пересечения данной прямой с осью абсцисс из уравнения: 2x + 10 = 0. Абсцисса точки пересечения касательной с осью Ox равна 5. Ответ: 5. Задача 4. Биссектриса угла B параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке K так, что AK = 6, DK = 8. Найдите площадь параллелограмма, если величина угла B равна 150. (5 баллов) : B C А M K D Пусть дан параллелограмм АВСD, B = 150, BK биссектриса угла B, K AD, АК=6, DК=8. AD=AK+KD=6+8=14. Проведем высоту параллелограмма ВМ. По свойству углов параллелограмма имеем: A + B = 180, следовательно, A = 30. Так как ВК биссектриса угла В, то ABK = KBC. Так как ВС AD как противолежащие стороны параллелограмма, то CBK= AKB как накрест лежащие, отсюда, ABK = AKB = KBC, следовательно, ΔABK равнобедренный, значит АВ=АК=6. Из прямоугольного ΔABM найдем высоту ВМ. sin A =, BM = AB sin A = 6 sin 30 = 6 = 3. Площадь параллелограмма найдем по формуле: S = ah. S = AD BM = 14 3 = 42. Ответ: 42. Задача 5. В двух сосудах находилось 600 г и 150 г растворов соли различной концентрации. Из каждого сосуда взяли одновременно по n граммов раствора. Взятое из первого вылили во второй, а взятое из второго в первый. После этого концентрация растворов в обоих сосудах стала одинаковой. Найдите n. (7 баллов)

3 Фраза В двух сосудах находилось 600 г и 150 г растворов соли различной концентрации. Из каждого сосуда взяли одновременно по n граммов раствора. Взятое из первого вылили во второй, а взятое из второго в первый. После этого концентрация растворов в обоих сосудах стала одинаковой. Найдите n. Математическая модель I сосуд II сосуд концентрация масса соли концентрация масса соли x x600 y y150 x x600 xn y y150 yn = = = 600y 4ny + 4nx 4 600x xn + yn = 600y 4ny + 4nx 600(x y) = 5n(x y) По условию концентрация различная, значит x y, и получаем равносильное уравнение 600 = 5n n = 120. Ответ: 120. Задача 6. Найдите наименьшее m и наибольшее M значение выражения 2x 3y, если x 2xy + 2y = 2. В ответ запишите сумму m + M. (10 баллов) По сути, нам надо найти наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных g(x, y) = 2x 3y, на множестве удовлетворяющему соотношению x 2xy + 2y = 2. I способ Преобразуем уравнение x 2xy + 2y = 2: (x y) + y x y = 2, 2 + y 2 = 1. Данное соотношение напоминает основное тригонометрическое тождество, введем замену = sin t, = cos t. Из этих соотношений выразим x и y: y = 2 cos t, x = 2 sin t + 2 cos t. Преобразуем исходное выражение, воспользовавшись методом вспомогательного угла.

4 2x 3y = 2 2 sin t + 2 cos t 3 2 cos t = 4(sin t + cos t + 2 sin t cos t) 6 cos t cos 2t + 1 = sin 2t 6 = sin 2t 3 cos 2t = sin 2t 3 cos 2t 5 = sin(2t + φ). Воспользуемся ограниченностью синуса: sin(2t + φ) 6. Таким образом, m = 4, M = 6. II способ А. Пусть x = 0, тогда уравнение примет вид 0 2y 0 + 2y = 2, откуда y = 1. А значение выражения тогда равно 2x 3y = = 3. Б. Пусть теперь x 0. Произведем замену y = ax. Подставляя в уравнение, имеем x 2axx + 2a x = 2, откуда x =. Из соотношения y = a x, имеем y = f(a) = 2x 3y = 4 6a 2a 2a + 1. f (a) = 4(3a 7a + 2) (2a 2a + 1).. Найдем критические точки f (a) = 0: a = 2, a =. Воспользовавшись достаточным условием экстремума, получаем, что a точка максимума, а a точка минимума. f(2) = 4, f = 6. Сравнивая, данные значения с уже найденными в пункте А, получаем m = 4, M = 6. III способ Введем дополнительную переменную z = 2x 3y. Тогда задача может быть переформулирована следующим образом: найти наибольшее значение переменной z при условии, что выполнены равенства z = 2x 3y, x 2xy + 2y = 2. Эти условия можно рассматривать как систему относительно неизвестных x и y: 2x 3y = z, x 2xy + 2y = 2. А фраза «выполнены равенства» означает: «система имеет решение». Положим z 0, а случай z = 0 рассмотрим отдельно. Домножим первое уравнение системы на 2, а второе на z, получим уравнение с параметром. Разделим уравнение на y 0, случай y = 0 рассмотри отдельно. Произведем замену t = : (z 4)t 2zt + 2z + 6 = 0. Нам надо найти наибольшее и наименьшее значение параметра z, при котором уравнение имеет корни. При z = 4 уравнение превращается в линейное и этот случай рассмотрим отдельно. Чтобы уравнение имело корни, дискриминант его должен быть неотрицательным. D = 4z 4(z 4)(z + 6) = 4( z + 2z + 24) 0. Решим соответствующее неравенство, получим: 4 z 6.

5 Получим наименьшее значение параметра z = 4, а значит m = 4 и наибольшее значение z = 6, а значит M = 6. Случаи z = 0 и z = 4 рассматривать смысла нет, поскольку, даже если уравнение и имеет решение при них, то данные значения никак не повлияют на ответ. Случай y = 0 влечет z = 4, а значит, не повлияет на окончательный ответ. Ответ: 2.

Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с