Образующие элементы и определяющие соотношения в линейных группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
Защита состоится "¿Ъ " оюи 6м рЛ 1998 г. в ЛА часов на заседании диссертационного совета Д 064.61.02 в Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.
Автореферат разослан "/-г2-" Jiê^1.3/4998 г.
Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
АКТШЬНОСТЬ ТЕШ. Одно из классических направлений в теории групп составляет группы, представленные через образующие элементы и определяющие соотношения. Это направление возникло в результате развития таких разделов математики как геометрия, топология, автоморфине функция я теория уздоз. Группы, представленное своими образувании и соотношениями впервые встречается в классических трудах Дзва, Тице и Пуанкаре. Раздел теория групп, изучасщий группа с позиции образувчих и соотноаений носит название комбинаторной теории групп. Первое систематические изложение теории таких групп дано в монографии В.Магнуса, ¿.Карраса, Д.Солитэра СЮ), Более современные методы этой теории изложена в энциклопедической кйпго РЛиядона, Н.Шувна (С21). Обзор развития идей в указанной каправдеаии приведен в книга Б.Чацдлера, В.Магвуса 1(ГЗЗ). Задания многих известных групп через образушцие я соотно-иетм содержит книга Г.С.М.Коксетера, 7«0Лж.Иозера (Ш).
Большой интерес в комбинаторной творя* групп вызывают образуете и соотношения линейных групп. На важность этого вопроса в свое время обращал вникание исследователей еще обзор Ю.И.Нерзля-кова([5]). В названном направлении уже выполнено большое количество работ я интерес к ним в последние года значительно возрос. Напомним некоторые известные (я общие) результаты яз упомянутой области. Отметим прежде всего (независимо подученные) классические результаты Дж.Нильсена и В.Магнуса, где ими найдены определя-ивде соотноиения специальной линейной группы "Ж) , ,
относительно элементарных трансвекций -Ь- (гО , ¿ .Вернув-иись к результату Дж.Нильсена Б.Нойман и ¿.Нойнаи (в 1951 г.) нашли более простую систему соотношений для этой же группы
Ж) . Аналогичным образом Янь Ши-цзявь в своей (большой) работе выявлял-образущие и определявшие соотношения следующих серий групп БЬС*,*) , , , РО-Ц^Х).
Образующие и соотношения полных линейных групп СИ- (/"-¿"З^) и
(>7 к С*]) ( - кольцо многочленов над к. ) сравнительно недавно были-найдены Дж.Сильвестром. Далее, как показал Р.Ст-ейвберг (см. (Г63), стр.69), для представления группы 51. (п, над конечным полем достаточно и тривиальных "стейкбергов-екнх" соотношений между элементарными трансвекциямя. Определяющие соотношения специальной лииейкой группы ^ЬОи^Т) , -п >з , над
произвольным телом Л"* (определитель понимается в смысле Дъёдон-ве) относительно элементарных трансвакций (также сравнительно недавно) находил С.Грив. Переходя к более широким классам колец Г,А.Носков выявил образующие и соотношения симплектической группы А) над локальным кольцом А с I, в котором каждый конечно порожденный правый идеал - главный. И, наконец, отметим замечательный (н достаточно продвинутый) результат сибирского математика Б.С.Романовского, где им были найдены образующие элементы и определяющие соотношения полной линейной группы СтКуц-Л.), -»г-Зр я. , над произвольным локальным кольцом А (с I). Сведения о представлениях других линейных групп малых (ключевых) размерностей можно найти в специальной обзоре (£53).
С этим направлением тесаейиим образом соприкасаются ж вопросы о конечной порождаемою* и конечной определенности линейных групп* Здесь мы укажем прежде всего на (общий) результат Г.Миаков-ского о действии полной линейной группы в ев-
клидовом пространстве размерности Ой-*-*.) /х. , из которого тут же следует конечная определенность группы относительно
элементарных траисвекций и простых отражений. Далее, в своих (двух) работах К.3игель показал конечную определенность и конечную порождаемость симплектической группы Ж) . Рассматри-
вая эту же группу 1Дуа и Й.Райнер установили ее
порождаемооть четырьмя матрицами. Напомним и результат А,1^рвица, где им была показана конечная порождаемость специальной линейной группы -5>1_(и. £.) над кольцом целых алгебраических чисел Я . Далее, К.Макдаффи и (независимо) Л.Хуа и Й.Райнер показали порож-даемость полной линейной группы тремя матрицами "Ц^, ХГ^,
Т7д . Как позже установил С.Тротт, при четных к для порождения группы С^ достаточно и двух ее элементов Ц^ , а при нечетных и. мы имеем < 5 I (м, ж ) . Эти и дру-
гие сведения о порождаемости и конечной определенности линейных групп можно найти в книгах (ГЗЗ) и (М). В обзоре ([5]) проявлен большой интерес к определяющим соотношениям некоторых унитарных групп над локальными и полулокальаыми кольцами, для которых находились лишь их образующие элементы.
Таким образом, диссертация относится к интенсивно развивающемуся разделу теории групп, что и определяет ее актуальность.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Тот факт, что унитарные и (особенно) ортогональные группы ранее почти никем не изучались (с позиции образующих
и соотношений) свидетельствует о достаточной трудности этой задачи. Трудность здесь главным образом связана с неэлементарностью недиагональкых образующих этих групп. Основное место в работе занимают представления унитарных и ортогональных групп. Здесь немало внимание уделяется также полной и обобщенной полной линейным группам и некоторым их классическим подгруппам. В работе даются описания в терминах образующих и соотношений следующих линейных групп:
I. Классической унитарной группы 110% Л) . и-й*-^ » над локальным кольцом Рч с инволюцией , .подчиненным некоторым естественным требованиям;
II. Классической ортогональной группы О С*, Я) , "»-ъ-я, , над коммутативным локальным кольцо» & (с I), для которого выполнено (естественное) условие - взятие мультипликативной группы);
III. Подгрупп Н полной линейной группы (»>. •«^-2., содержащих группу диагональных матриц , над произвольным локальным кольцом Я- с телом вычетов Я — К/ЗОО^Г^ ( ЗО? - радикал Джекобсона кольца );
IV. Произвольной неклассической вещественно-диагонализуемой унитарной группы К, а) > , над локальным иеволвтив-ным расширением К/Я упорядоченного евклидова поля к. (разбираются все случаи);
V. Мультипликативной группы
А" произвольного слабосовер-
31. Некоторых расщепимых подгрупп мультипликативной группы _А." -обобщенного матричного кольца ;
УП. Мультипликативной унитарной группы И
(Л) слабосовер-шеиного кольца А с инволюцией
, подчиненного некоторым естественным ограничениям;
Над ассоциативным кольцом, не обязательно обладающим I, вводится понятие обобщенной полной линейной группы и ее классических подгрупп. Находятся образующие и определявшие соотношения также следующих линейных групп:
У1П. Обобщенной полной линейной группы (м, Ю, над произвольным локальным кольцом (вообще говоря) без I;
IX. Группы квазиобратимых элементов IV произвольного (вообще говоря без I) полулокального кольца & порядка ^>2. ;
X, Обобщенной классической унитарной группы (О,
над Хйббще говоря безвдииичным) локальным кольцом й- "с инволюцией
, подчиненным некоторый естественный условиям;
П. Обобщенной классической ортогональной группы О^Оь , над (также вообще говоря безединичным) локальный кольцом Я , удовлетворяющим некоторым естественный ограничениям.
Для всех групп 0" * перечисленных выве (за исключением пунктов III и IX), находятся определяющие соотношения специальных (в пункте У11 унимодулярной группы) подгрупп 3 СОг) этих групп. Для тех О- , центры которых допускают обозримое описание, находятся определяющие соотношения также их проективных факторгрупп и РЗ ($-) .
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе выявлены образующие и определяющие соотношения перечисленных выве линейных групп (т.е. даны их полные описания!) относительно элементарных матриц, содержащихся в этих группах. Такими матрицами будут либо элементарные трансвек-ции, либо плоские "вращения", либо же матрицы "отражения". Почти во всех случаях используются также матрицы-транспозиции. В случаях, когда основное кольцо К. не обладает I, используются квазианалоги названных образующих. Все основные результаты работы являются новыми. Как по постановке, так и по решению, принципиально новыми являются задачи, сформулированные в пунктах УШ--XI.
• ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть применена а различных вопросах, связанных с заданием линейных групп через их образующие и определяющие соотввиенжя. При соответствующем развитии тематики не исключены их - применения также к отдельным проблемам топологии и геометрии»
МЕТОДИКА ЙССЛВДОВАНИЯ. В процессе решения перечисленных выше задач найден новый комбинаторный метод (названный в работе методом трансформации букв), который универсальным образом решает вопрос представления всех названных выве линейных групп. Он основан на идее преобразования произвольного слова выбранного алфавита к его стандартному (каноническому) виду. Во всех вопросах фундаментальную роль играют, так называемые, (большие) теоремы о трансформации. Применяются также общие рассуждения теории групп комбинаторного характера.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы неоднократно докладывались на. совместном семинаре лаборатории алгебраических методов
Санкт-Петербургского (прежнего Ленинградского) отделения Математического института им; В.А.Стекдова РАН и кафедры высшей алгебры и теория чисел Санкт-Петербургского университета. Бе части докладывались на 16-8 и ¿9-й Всесоюзных алгебраических конференциях (Ленинград, 1981 г., Львов, i9S7 г.). Отдельные результаты работы представлялись также на 1-й, 3-й и 4-й Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 5589 г., Красноярск, 1993 г., Санкт-Петербург, 1997 г.). По результатам работы сделаны доклады на семинарах института Математики HAH Кыргызской Республики и кафедры алгебры и геометрии Национального университета (Бишкек, 1994 г.). Аналогичный доклад сделан также на семинаре Математического института HAH Республики Узбекистан (Ташкент, £995 г.). Кроме того рабога по частьям представлялась на Региональной научно-технической, Республиканской научной, а также двух Международных научно-практических конференциях (Оз, i993, i995 гг. а Кнзня--Ки4, 1998 г.). С содержанием работы ознакомлена также кафедра алгебры Омского государственного университета (1996 и £997 гг.).
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 29 работ. Все публикации без соавторов.
ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и четырех глав и, включая библиография, занимает 232 страницы машинописного текста. Библиография насчитывает Й6 наименований работ.
В настоящей работе мы интересуемся заданием (образующими и соотношениями) названных выае линейных групп. Работа состоит из введения и четырех глав. Материал в ней распределен следующим образом. Введение помимо своего основного назначения имеет и подготовительный характер. Седа собраны все необходимые для дальнейшего понятия и факты. Здесь, в частности, описывается содержание основного метода работы - метода трансформации букв на конкретном примере обобщенной полной линейной группы CL°(г» над локальным кольцом R. (вообще говоря без -I).
Первая глава состоит из трех параграфов Z-Э. В §1 находятся определеющие соотношения классической унитарной группы
над локальным кольцом ^ ci, инволюция которого
удовлетворяет следующим условиям: а) N (:*.)=. N(?0 всвх хе ^ ( NС-с) - норма элемента тО; в) N N (Я) —
с) существует полная система стабильно-центральных вычетов кольца & относительно эквиваленцин ^ -W (?t)= V(^).
Над этим'кольцом находятся определяющие соотношения также групп , 5И(?1,/0 . , (определитель
строится предварительно). Содержание этого параграфа и .важнейшие его частные случаи отразились в работах Ю, М. 151. [И], Ц£6Д, Ц20Д. В §2 выявляются образующие и соотношения классических ортогональных групп О (>» Ю » -ЬО(-п., Я) , 20(-п,Ю3 2 £ 0 , чг>Л/ , над коммутативным локальным кольцом Й
этого параграфа содержатся в работах , [15], С18Д. В главе ± несколько иное направление имеет §3. Здесь мы опираясь на отдельные результаты из работы а7]) даем описания (в терминах образующих и соотношений) подгрупп полной линейной группы Й- < « рЬС^^)' ч^Ъ'ъ содержащих группу диагональных матриц
(>ч, Я) , над произвольным локальным кольцом Я. с телом вычетов F . Эти материалы были опубликованы в работах Г7Л. Г8]. [12].
Несколько сложную задачу составляют описания неклассических унитарных групп (даже в случаях простейших полей). К нахождению образующих и соотношений вещественно-диагонализуемых неклассических унитарных групп ЪЦх, К, л) » 'и.^-х- , над локальным йкволю-тивным расширением К /к. упорядоченного евклидова поля к посвящена вторая глава (§§ 4-7). В §4 проводится классификация (с точностью до сопряженности в полной линейной группе) всех таких групп. Доказано, что всякая такая группа сопряжена некоторой группе вида 11 (^ К, 3") , , где 3 - диагональная
форма с элементами из 1а, оЗ . Возможные типы таких групп доставляются следующими формами:
В соответствии с этими случаями группу К, 3") принято на-
зывать псевдоунитарной, вырожденной унитарной и вырожденной псевдоунитарной. Образующие и соотношения неклассической унитарной \ группы иС-и-, 3") , 'Ъ-Ж, , в соответствии с пунктами а), в), с) выявляются (соответственно) в параграфах 5, 6 и 7. Здесь же находятся определяющие соотношения и неклассических специальных унитарных групп К, 7) (определитель понимается в смысле §1), а также проективных фактор-групп 2И (»и, К", 7 £ ¿"И- К, сг) , 'Н.^- . Отметим, что при комплексном расширении К= С (к) рассмотрением случаев а)-с) полностью ис-
черпывается изучение группы ¿О , чи^ю , для любой
самосопряженной матрицы о ф- из .ЛС (л, К ) . Содержание этой главы отразилось в работах ОШ и [2*0.
Третья глава (§§ 8-10) посвящена к описание некоторых подгрупп мультипликативной группы обобщенного матричного кольца. А Именно, в §8 находятся определяющие соотношения (полной) мультит пликативной группа _ЛГ произвольного слабосовершэнного кольца .А. порядка -и. . Здесь же даются описания также специальной подгруппы и проективных фактор-групп _£А* , £ ^ (АГ) . Имеется цепочка включений '
ПМК(Т) Щ ПМК(Ж) ПСК = ССК, (
где первые два звена означают классы полных матричных колец над телами и локальными кольцами (соответственно), а последние два -классы полусовершенных и слабосовершенных колец (определения'см., например, в [ЗЛ ). Отсюда хсроио видно, что упомянутые еще вначале (и ставиие уже классическими) результаты Н.С.Романовского (Ш) и С.М.Грина (С9Л) являются частными случаями полученных здесь результатов. Основные результаты этого параграфа содержатся в [2], 01 и [173. В §9 мы находим образующие и соотношения некоторых расщепимых подгрупп мультипликативной труппы Ж. произвольного обобщенного матричного кольца А. порядка . А точнее, здесь подвергаются к изучению случаи, когда
щепимые группы с обратимой диагональю и мономиальных элементов. Эти исследования составляют содержания работ [6], £10] и [123. §10 посвящен к изучении полной мультипликативной унитарной группы 1ЛГ(-Л_) слабосовершенного кольца _Л, с сопряжением
, удовлетворяющим некоторым естественный условиям а)-<0. Зтот параграф обобщает результаты §§1, 2 и он анонсирован в ЕЙ.;
Совершенно иного уровня задачи решаются в главе 1У (§§И-1*0: здесь находятся образующие и определяющие соотношения некоторых линейных групп над кольцами, вообще говоря не имеющими I. В §11 ын находим определяющие соотношения обобщенной полной линейной-группы (•и, Я) , , над произвольным локальным кольцом
£ (существование в К I не предполагается). Опираясь на этот результат здесь дается представление также проективной обобщенной полной линейной группы 2<£10(у-7 (О ■ , ■п-Ъ'Я/ . В этом параграфе вводится понятие квазиопределителя А и находятся представления и обобщенных специальных линейных групп £ С£") —
*=-\а.е. Ю- = о £ г, Ю , пъ-ъ- . Зти
результаты (принципиальным образом!) перекрывают упомянутый результат Н. С, Романовского (И) уже в другом направлении. В §11 в качестве дополнительного исследования выявляются основные свойства квазиопределителя и указывается его приложение к, так называемым, системам квазилинейных уравнений. В §12 находятся образующие и соотношения группы квазиобратимых элементов произвольного полу локального кольца (2. порядка , также не предполагающего существования Здесь вычисляется центр с^итЬк," и выявляются определяющие соотношения проективной . группы Р К,"/ес-к^. Поскольку полное матричное кольцо К) над полулокадьным кольцом к само полулокально (что легко следует из равенства 3 [М. (ш,К)>» М,(™г э(Ю>), имеющего место при любом К .см., например, ([103), стр.22), этот параграф содержит в себе описания обобщенных линейных групп СгЬ" £) , О»-, Я.) , , над произвольными полулокальными кольцами (без единиц). Параграф 13 посвящен к выявлению образующих и соотношений обобщенной классической унитарной группы К) , пи.^.'зи . над (вообще говоря безединич-ным) локальным кольцом с инволюцией
, для которого выполнены некоторые (естественные) требования (°0-(5)» являющиеся обобщениями условий а)-с) из §1. В этом параграфе дается описание и специальной обобщенной унитарной группы О*1» Ю « # Этот параграф содержит в себе основные результаты из §1. И, наконец, в §14 такая же задача решается для обобщенных классических ортогональных групп 0°(-и-?- (>ь К-): С1 - транспонирование), 50" (и, К) , п^й^ , над локальными-кольцами (где ни коммутативность, ни существование 5 не предполагаются), удовлетворяющими некоторым (также естественным) условиям 0*)-(у). Эти описания, как и в §13, содержат в себе основные результаты параграфа 2. Во всех параграфах П-14 строятся примеры (соответствующих) основных колец , не обладающих <С. Содержание главы 1У отразилось в работах Г26]-[293. Как показывают результаты главы 17, отказ от существования I в основном кольце & при решении подобных задач приведет нас не-только к неимоверным техническим сложностям, но и некоторым трудностям принципиального характера.
Все- наши рассуждения в работе основываются на следующем простом (но в то же время весьма эффективном) факте. Пусть. - гр-
уппа и Л/ - ее какая-нибудь порождающая система. Пусть далее, имеется какая-то совокупность соотношений £ = С 3- - единица группы) группы О- в алфавите IX/ . Возникает естественный вопрос: каков критерий того, чтобы совокупность 2. образовала для полную систему соотношений? Чтобы ответить на этот вопрос для каждого элемента дб-О- укажем по совокупности слов £503)> алфавита Му , записывающих этот элемент (совокупности могут быть и бесконечными). Выбранные слова (условно) будем называть стандартными формами элементов группы Ср (которые в конкретных ситуациях действительно обретают смысл стандартности). Тогда относительно полноты системы соотношений имеет место следующий
КРИТЕРИЙ. Совокупность £ = а. образует для группы 0* систему определяющих соотношений тогда и только тогда, когда любое слово соотношениями из £эА можно привести к какому-либо (любому!) стандартному виду и вывести из В = а все соотношения вида ¿(а.) =. А. .
Этот критерий к рассматриваемым группам применяется в следующей последовательности: I) выбирается некоторая (естественная) порождающая система М/ ; 2) относительно АЛ удобным (в смысле применения критерия) образом определяются стандартные формы 5(3) элементов группы ; 3) предугадывается некоторый набор соотношений £ 6- этой группы в алфавите А/ ; Ю доказывается выводимость из набора £»4, по одному соотношению Г=.2(г) для каждого слова и всех соотношений вида = 1 • Тог-
да согласно критерию это означает задаваемость Очевидно, что если
> . то в пункте 4) достаточно
Показать выводимость из .£>»4- лишь соотношений-вида уг^^Ог) (для каждого слова \Г ).
Таков общий подход в установлению полноты системы соотношений . Но преобразование слова чГ к его стандартному виду в случаях конкретных групп требует свои дальнейшую реализацию. В работе найден общий метод, который позволяет нам по указанному выше плану описать все рассматриваемые в работе группы с позиции образующих и соотношений. Он именован методом трансформации" букв.
Продемонстрируем суть этого метода на примере задач §11. Для этого приведем некоторые определения из (ШЙ). Пусть .А,— произвольное ассоциативное кольцо вообще говоря без I и ■ о - присое-
динеакое умаожение в.этом кольце (т.е. £ = <х.-+ ).
Элемент к из А. называется квазиобратимым, если для него £*<■<*'= о = к ''о « при некотором л'егА . Совокупность всех квазиобратимых элементов _Л? из А. образует группу относительно композиции * (где единицей будет нуль!) и она называется группой квазиобратимых элементов кольца .А- . Поскольку в случае наличия I в А отображение —А? ?
ос ь->- ос , задает изоморфизм, группа А° является обобщением понятия мультипликативной группы _ДГ на самые общие случаи ассоциативных колец. Обозначим через О-С (тгР группу квазиобратимых элементов полного матричного кольца Д-Ог, Ю и назовем ее обобщенной полной линейной группой степени уь над кольцом .
Пусть ООО - радикал Джекобсона ассоциативного кольца Так как множество эс.с<£ Я* при всех хе Р.> обра-
зует (можно проверить!) наибольший левый квазирегулярный идеал в & - а это одна из характеризаций радикала, введенное множество дает нам еще одно описание этого понятия. Аналогичным образом описывается радикал и справа: 3(12.): еОсс при всех х:е Я > .До сравнительно недавнего времени впечатление было такое* что локальные кольца можно ввести только в классе ассоциативных колец с I (т.е. их определение уже включало в себя существование !, см. (ГШ), (¡221) и другие источники). Но в -1990 г. такие кольца без предположения существования I, все-таки (хотя и частично), были введены в алгебру в (СРЗ) (см. стр.337). Они вводились там как ассоциативные кольца А. с такими двусторонними идеалами I , что фактор-кольцо А/х - тело и X является наибольшим либо среди левых, либо же среди правых идеалов (т.е. слева или справа) кольца _Л. . Обозначим класс таких колец через 1>с- . Этот класс очевидным образом содержит в себе все локальные кольца с 2. Ив здесь сохраняя классическую терминологию ассоциативное (не-обязательно с £) кольцо А назовем л о ка л ь во, если его фактор-кольцо А/3(Л) по радикалу Дже-кобсова-.образует тело: Легко показать, что класс состоит
из тех и только из тех локальных колец А , радикалы которых О (А) образуют наибольший слева или справа идеал в А. . Обозначим через и ЬЯ^ классы абстрактных локальных колец с единицами и без них (соответственно).
Следуя (С^З) (см. стр;70) ассоциативное кольцо К назовем радик- а
л -ь н ы м, если для него выполнено олно ия слйлупши*
эквивалентных условий: К или —1< . Очевидными
примерами радикального кольца могут послужить все кольца с нулевыми умножениями. Известен также пример Сансяды ([151; радикального кольца К -ф. -