ЕГЭ Математика Задача B14 Производная и первообразная. Исследование функций

2 ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ С. А. Шестаков ЕГЭ 014. Математика Задача B14 Производная и первообразная. Исследование функций Рабочая тетрадь Издание пятое, стереотипное Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко Издание соответствует Федеральному государственному общеобразовательному стандарту (ФГОС) Москва Издательство МЦНМО 014

3 УДК 373:51 ББК.1я7 Ш51 Ш51 Шестаков С. А. ЕГЭ 014. Математика. Задача B14. Производная и первообразная. Исследование функций. Рабочая тетрадь / Под ред. А. Л. Семенова и И. В. Ященко. 5-е изд., стереотип. М.: МЦНМО, с. ISBN Рабочая тетрадь по математике серии «ЕГЭ 014. Математика» ориентирована на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче единого государственного экзамена по математике в 014 году. В рабочей тетради представлены задачи по одной позиции контрольных измерительных материалов ЕГЭ-014. На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по теме «Производная и первообразная. Исследование функций». Рабочая тетрадь ориентирована на один учебный год, однако при необходимости позволит в кратчайшие сроки восполнить пробелы в знаниях выпускника. Тетрадь предназначена для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей. Издание соответствует Федеральному государственному общеобразовательному стандарту (ФГОС). ББК.1я7 Приказом 79 Министерства образования и науки Российской Федерации Московский центр непрерывного математического образования включен в перечень организаций, осуществляющих издание учебных пособий, допущенных к использованию в образовательном процессе. ISBN ШестаковС.А.,014. МЦНМО,014.

4 От редакторов серии Прежде чем вы начнете работать с нашими тетрадями, мы хотим дать вам некоторые пояснения и советы. Экзамен по математике в 014 году состоит из двух частей: в первой части 14 простых задач, в которых требуется краткий ответ (В1 В14); во второй части 6 более сложных задач, требующих развернутого решения (С1 С6). Рабочие тетради B1 B14 организованы в соответствии со структурой первой части экзамена 014 года и позволят вам подготовиться к выполнению всех заданий этой части, выявить и устранить пробелы в своих знаниях. Тем из вас, для кого главное это набрать минимальный аттестационный балл, мы рекомендуем ориентироваться на устойчивое, безошибочное решение 8 заданий из первой части. (Хотя в реальности минимальное число заданий, которое нужно решить верно, может составить 5 или 6, но ведь вам нужно заcтраховаться от случайной ошибки!) Эти 8 (или больше) заданий нужно выбрать исходя из того, что вы хорошо понимаете их условия, вам знаком материал и в школе вы хорошо справлялись с аналогичными заданиями (не обязательно в курсе математики 11 класса, а на протяжении всего обучения). При этом следует в первую очередь уделять внимание тем заданиям, которые у вас уже получаются, добиваясь максимально надежного их выполнения, не ограничивая себя временем. Те из вас, кто ориентируется на поступление в вуз, конечно, понимают, что им желательно с высокой надежностью решать все задачи части В ведь на решение такой задачи и вписывание ответа в лист на экзамене уйдет меньше времени, чем на задачу части С, и жалко будет, если вы ошибетесь и потеряете нужный балл. Вам следует добиваться уверенного выполнения всех заданий первой части, большее внимание уделяя тем задачам, которые вызывают наибольшие затруднения. Устранение пробелов в ваших знаниях поможет вам и в работе с заданиями части С. Определив время, за которое вы можете уверенно без ошибок выполнить все задания первой части, следует планировать оставшееся время на экзамене на задания второй части. Работу с тетрадью следует начать с выполнения диагностической работы. Затем рекомендуется прочитать решения задач и сравнить свои решения с приведенными в книге. По тем задачам, которые вызвали затруднения, следует после повторения материала по учебнику или с учителем выполнить тематические тренинги. Для завершающего контроля готовности к выполнению заданий соответствующей позиции ЕГЭ служат диагностические работы, приведенные в конце тетради. Работа с серией рабочих тетрадей «ЕГЭ 014. Математика» позволит выявить и в кратчайшие сроки ликвидировать пробелы в знаниях, но не может заменить систематического повторения (изучения) курса математики! Желаем успеха! 3

5 Введение Это пособие предназначено для подготовки к решению задач по теме «Производная и первообразная. Исследование функций» и, в частности, задачи В14 Единого государственного экзамена по математике. Задача В14 представляет собой традиционное для школьных учебников задание на вычисление первообразных или исследование функций: нахождение точек экстремума, экстремумов, наибольших и наименьших значений функций. Для того чтобы подготовку к ЕГЭ сделать максимально эффективной, в пособие включены задания по указанным темам, соответствующие всем шести функционально-числовым линиям школьного курса: целые рациональные функции (многочлены), дробно-рациональные функции, иррациональные функции, тригонометрические функции, показательная функция, логарифмическая функция. Здесь под иррациональными функциями понимаются функции, заданные формулой, в которой переменная находится под знаком корня n-й степени или имеет дробный показатель степени. Такое построение пособия позволит, с одной стороны, выявить существующие пробелы и проблемные зоны в подготовке с целью их устранения и выработки устойчивых навыков решения задач базового уровня и несколько более сложных задач на вычисление производных и первообразных и исследование функций, а с другой использовать комплексный подход при организации и проведении обобщающего повторения. Кроме того, в пособие включен материал, связанный с вычислением наибольших и наименьших значений функций без применения производной, разбитый на два пункта: «Применение свойств функций» и «Применение стандартных неравенств». Материал второго пункта предназначен для тех выпускников, которые планируют решать задания второй части ЕГЭ, и позволяет лучше подготовиться к решению задач С1, С3, С5. Выпускники, для которых экзамен по математике в выбранных ими вузах не является профильным, могут пропустить этот пункт. Пособие состоит из трех параграфов и включает 1 диагностических и 8 тренировочных работ, а также разбор задач начальной диагностической работы параграфа с необходимыми методическими рекомендациями. Диагностические работы состоят из 1 заданий (в параграфах 1 и 3 по два на каждую из шести функционально-числовых линий школьного курса в соответствии с указанным выше порядком; в параграфе задачи диагностических и тренировочных работ сгруппированы по методам решения). Тренировочные работы состоят из 10 задач для выработки или закрепления навыков решения по каждому типу заданий. В начале работы с пособием целесообразно выполнить начальную диагностическую работу параграфа, определить, какие задачи вызывают затруднения, и обратить- 4

6 Введение ся при необходимости к разбору задач. После этого нужно потренироваться в решении задач каждого типа, выполнив тренировочные работы параграфа. Для завершения подготовки сделать диагностические работы, размещенные в конце параграфа, постаравшись решить их без ошибок или с минимальным количеством ошибок. Желательно, чтобы время решения любой из диагностических и тренировочных работ не превышало одного часа. Материал второго пункта второго параграфа, связанный с применением неравенств к вычислению наибольших и наименьших значений функций без использования производной, носит, как уже отмечалось, факультативный характер и предназначен для тех выпускников, которые собираются поступать в вузы с профильным экзаменом по математике. Подчеркнем, что в пособии рассматриваются задания, в значительной части отвечающие по уровню сложности заданию В14 ЕГЭ по математике. Умение решать такие задачи является базовым: без него невозможно продвинуться в решении более сложных задач. Тем не менее, часть включенных в пособие задач несколько сложнее задачи В14 демоверсии: их решение позволит нарастить определенную «математическую мускулатуру» и чувствовать себя на экзамене застрахованным от неприятных неожиданностей. При подготовке к решению задач части I Единого государственного экзамена нужно помнить следующее. Проверка ответов осуществляется компьютером после сканирования бланка ответов и сопоставления результатов сканирования с правильными ответами. Поэтому цифры в бланке ответов следует писать разборчиво и строго в соответствии с инструкцией по заполнению бланка (с тем, чтобы, например, 1 и 7, или 8 и В распознавались корректно). К сожалению, ошибки сканирования полностью исключить нельзя, поэтому если есть уверенность в задаче, за которую получен минус, нужно идти на апелляцию. Ответом к задаче может быть только целое число или конечная десятичная дробь. Ответ, зафиксированный в иной форме, будет распознан как неправильный. В этом смысле задание В14 не является исключением: если результатом вычислений явилась обыкновенная дробь, например, 3 4,передзаписьюответавбланк ее нужно перевести в десятичную, т. е. в ответе написать 0,75. Каждый символ (в том числе запятая и знак «минус») записывается в отдельную клеточку, как это показано на полях пособия. 5

7 Ответы: 1. Вычисление производных. Исследование функций с применением производной Диагностическая работа Образец написания: 1. Найдите точку максимума функции y = x 3 48x Найдите наименьшее значение функции y = x 3 7x на отрезке [0; 4]. 3. Найдите точку минимума функции y = 5 x + x Найдите наибольшее значение функции y = x + 9 на отрезке [ 4; 1]. x 5. Найдите точку максимума функции y = 7 + 6x x Найдите наименьшее значение функции y = x 3 3x + 1 на отр езке [1; 9]. 7. Найдите точку минимума функции y = (0,5 x)cosx + sin x, принадлежащую промежутку 0; π. 8. Найдите наибольшее значение функции y = 4 cosx + 4x π + 4 на отр езке 9. Найдите точку максимума функции y = (x 17x 17)e 7 x. 10. Найдите наименьшее значение функции 0; π. y = (x 13)e x 1 на отрезке [11; 13]. 11. Найдите точку минимума функции y = x 5lnx. 1. Найдите наибольшее значение функции y = 5 7x + 7ln(x + 3) на отрезке [,5; 0]. 6

8 Методические рекомендации Методические рекомендации Можно выделить следующие основные группы задач по теме, вынесенной в название параграфа: исследование функции на экстремумы; исследование функции на возрастание/убывание; исследование функции на наибольшие и наименьшие значения (в том числе на отрезке); исследование функции с помощью графика ее производной (чтение графика производной). Разница между первыми тремя и последней группами задач заключается лишь в способе задания функции. В более традиционных для школьных учебников задачах (первые три группы задач) функция задана аналитически, для решения задачи нужно найти производную, ее нули и промежутки знакопостоянства. Именно эти задачи и будут рассматриваться в пособии. В менее традиционных задачах, ставших очень популярными в последние годы (в том числе и благодаря ЕГЭ по математике), выводы о промежутках возрастания и убывания (т. е. промежутках монотонности), экстремумах функции, ее наименьших или наибольших значениях нужно сделать, исследуя заданный график производной этой функции. Для успешного решения задач по теме необходимо уверенное владение навыками вычисления производных и решения неравенств. Исследование дифференцируемой функции на возрастание (убывание) сводится к определению промежутков знакопостоянства ее производной. Напомним соответствующие утверждения. Если f (x) > 0 в каждой точке интервала, то функция y = f (x) возрастает на этом интервале (достаточный признак возрастания функции). Если f (x) < 0 вкаждой точке интервала, то функция y = f (x) убывает на этом интервале (достаточный признак убывания функции). Решение задач на нахождение точек максимума и минимума (точек экстремума) функции основывается на следующих утверждениях. Признак максимума. Если функция f непрерывна в точке x 0, f (x) > 0 на интервале (a; x 0 ) и f (x) < 0 на интервале (x 0 ; a), то x 0 точка максимума функции f (упрощенная формулировка: если в точке x 0 производная меняет знак с плюса на минус, то x 0 точка максимума). Признак минимума. Если функция f непрерывна в точке x 0,f (x) < 0 на интервале (a; x 0 ) иf (x) > 0 на интервале (x 0 ; a), то x 0 точка минимума функции f (упрощенная формулировка: если в точке x 0 производная меняет знак с минуса на плюс, то x 0 точка минимума). Условие непрерывности в точке x 0 является существенным. Если это условие не выполнено, точка x 0 может не являться точкой максимума (минимума), даже если функция f определена в ней и производная меняет знак при переходе через x 0.Всамом 7

9 1. Вычисление производных. Исследование функций с применением производной деле, рассмотрим функцию x при x 0, f (x) = 1 пр и x = 0. Хотя эта функция определена в точке x = 0 и в этой точке производная f (x) = x меняет знак с минуса на плюс, эта точка не является точкой минимума. Точками максимума и минимума являются лишь точки области определения функции, и «ординат» эти точки иметь, разумеется, не могут. Тем не менее, иногда учащиеся называют, например, точку минимума функции y = x + 3 не «точка 0», а «точка (0; 3)», подразумевая точку графика функции. Такое утверждение является ошибочным. Значение функции в точке минимума называется минимумом функции, а значение в точке максимума максимумом функции. Если функция возрастает (убывает) на каждом из двух промежутков, то на их объединении она далеко не всегда является возрастающей (убывающей). Например, о функции y = tg x очень часто приводятся следующие ошибочные утверждения: «функция y = tg x возрастает на всей области определения», «функция y = tg x возрастает на объединении промежутков вида π + πk; π + πk, k». Если бы эти утверждения были верны, то из неравенства > 1 следовало бы, что tg > tg 1, а это не так. Аналогично обстоит дело с функцией y = 1 : вывод о том, что она убывает x на множестве ( ; 0) (0; + ), является математической ошибкой. В самом деле, из того, что > 3, отнюдь не следует, что 1 < 1 3,и,следовательно,функция y = 1 x не является убывающей на объединении промежутков ( ; 0) (0; + ). Перечислять промежутки возрастания лучше, используя точку, точку с запятой или союз «и», а не знак объединения множеств. Впрочем, это совет скорее на будущее, на случай, если задача на исследование функций когда-нибудь попадет во вторую часть ЕГЭ по математике и будет требовать полного решения. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке, нужно вычислить ее значения в точках экстремума, принадлежащих отрезку, и значения на концах отрезка. Наибольшее (наименьшее) из вычисленных значений и будет наибольшим (соответственно наименьшим) значением функции на отрезке. Для функции, непрерывной на интервале, аналогичное утверждение справедливо далеко не всегда. В качестве примера рассмотрим функцию y = tg x на интервале (0; 1). На этом интервале функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений. Действительно, если предположить, что в точке x 0 функция достигает, например, наибольшего значения, то это наибольшее значение равно y(x 0 ) = x 0.Нотогдаочевидно, что в любой точке x 1 (x 0 ; 1) значение функции окажется больше, чем x 0,поскольку функция y = tg x является возрастающей. 8

10 Методические рекомендации Наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) наотрезке[a; b] обычно обозначаются символами max f (x) иminf (x) соответственно. [a;b] [a;b] Из теоремы о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции следует, что если наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке равны числам m и M соответственно, то множеством значений функции на данном отрезке является отрезок [m; M]. Поэтому к решению задачи на отыскание множества значений функции, непрерывной на отрезке, также применим алгоритм вычисления наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. Рассмотрим еще одну типичную ситуацию. При исследовании на монотонность непрерывнойидифференцируемойна функции y = 3x 4 4x 3 в ответе нужно указать только два промежутка монотонности: ( ; 1], на котором функция убывает, и[1; + ) промежуток возрастания. Точка 0, хотя и является критической, не будет концом промежутка монотонности, так как производная в этой точке не меняет знак. Напротив, при исследовании функции y = 1 x x вответедолжныбытьуказанытри промежутка монотонности: ( ; 0) и [1; + ) промежутки возрастания, (0; 1] промежуток убывания. Значение в точке минимума функции, принадлежащей отрезку, вовсе не обязательно является наименьшим значением функции на этом отрезке. Например, для функции y = x 3 3x наименьшим значением на отрезке [ 5; ] является вовсе не y(1)= (значение в точке минимума), а y( 5) = 110. Разумеется, аналогичное замечание справедливо и для точек максимума. Для решения задачи В14 может оказаться полезным следующее свойство непрерывных функций: если функция y = f (x) имеет на промежутке I единственную точку экстремума x 0 и эта точка является точкой минимума, то в ней достигается наименьшее значение функции на данном промежутке. Аналогичное утверждение справедливо для точки максимума и наибольшего значения функции. Например, если функция y = f (x), непрерывная на отрезке [a; b], имеет на промежутке (a; b) единственную точку экстремума x 0 и эта точка является точкой максимума функции, то наибольшее значение функции на отрезке [a; b] равно f (x 0 ). Иногда при решении задач на исследование функций оказывается, что на данном промежутке точек экстремума нет. Такой ситуации не надо пугаться: она означает, что на этом промежутке производная принимает значения одного знака, т. е. функция является монотонной на нем. Остается заметить, что если функция возрастает на отрезке, то наибольшее значение на нем достигается в правом конце отрезка, а наименьшее в левом; если функция убывает на отрезке, то наибольшее значение на нем достигается в левом конце отрезка, а наименьшее в правом. Например, пусть требуется найти наибольшее значение функции y = 6 sinx 40 π x

11 1. Вычисление производных. Исследование функций с применением производной π на отрезке 4 ; π. Производная этой функции есть y = 6 cosx 40 3 π.поскольку π<4, получим, что 40 π > 10. Но 6 cosx = 7 cos x < 81 cos x, т.е. 6 cosx < 9cosx 9. Поэтому y < 0 при любом действительном значении аргумента. Значит, функция y = 9sinx 40 x + 49 является убывающей на всей числовой прямой и своего наибольшего значения на отрезке π π 4 ; π достигает в точке x = π. Таким образом, 3 4 π max π ; π y(x) = y = π π + 49 = Особое место в ряду задач на вычисление наибольших и наименьших значений занимают «текстовые» задачи (как правило, с геометрическим содержанием). Обычно в таких задачах требуется найти наибольшее или наименьшее возможное значение некоторой величины. При этом искомая величина рассматривается как функция некоторой другой величины. Так, например, если известен периметр p прямоугольника, то его площадь можно рассматривать как функцию S(x) = x p x,гдеx одна из сторон прямоугольника. Исследовав эту функцию, можно установить, какой из всех возможных прямоугольников данного периметра имеет наибольшую площадь. Для рассматриваемой задачи это можно сделать и без применения производной, поскольку функция площади является квадратичной функцией с отрицательным коэффициентом при второй степени аргумента. Поэтому наибольшее значение достигается в абсциссе вершины параболы, являющейся графиком функции, т. е. в точке x = p 4. Следовательно, одна из сторон прямоугольника равна четверти периметра. Но тогда и любая другая сторона будет равна p. Таким образом, из всех прямоугольников данного периметра p наибольшую площадь p имеет квадрат. Другие задачи на вычисле ние наибольших и наименьших значений функции без применения производной будут рассмотрены в следующем параграфе. 10

12 Целые рациональные функции. Решения задач 1 и диагностической работы 1. Найдите точку максимума функции y = x 3 48x Решение. Найдем производную данной функции: y = 3x 48. Определим промежутки знакопостоянства производной, разложив полученное выражение на множители: 3x 48 = 3(x 16) = 3(x + 4)(x 4). Вточкеx = 4 производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, эта точка и является единственной точкой максимума. y (x) y(x) + max min + 4 Ответ: 4.. Найдите наименьшее значение функции y = x 3 7x на отрезке [0; 4]. Решение. Найдем производную функции y = x 3 7x и воспользуемся формулой разности квадратов: y = 3x 7, y = 3(x 3)(x + 3). Производная меняет знак в точках x = 3 иx = 3. Отрезку [0; 4] принадлежит только точка x = 3, в которой производная меняет знак с минуса на плюс. Таким образом, точка x = 3 является точкой минимума и единственной точкой экстремума на данном отрезке. Значит, своего наименьшего значения на данном отрезке функция достигает именно в этой точке. Найдем наименьшее значение: y(3) = = 54. Ответ: x

13 Ответы: Тренировочная работа 1 Т1.1 Т1. Т1.3 Т1.4 Т1.5 Т1.6 Т1.7 Т1.8 Т1.9 Т1.10 Т1.1. Найдите f (0), если f (x) = 3x 4 15x 4x Т1.. Найдите f ( 1), если f (x) = x 5 + x 7 + x 1. Т1.3. Найдите f (1), если f (x) = x 3 x 4 x 7. Т1.4. Найдите f (4), если f (x) = (x 5) 14. Т1.5. Найдите f ( 3), если f (x) = 3(x + 4) 5. Т1.6. Найдите f (4), если f (x) = (3x 11) 8. Т1.7. Найдите f ( 5), если f (x) = (x + 4) 6 + (x + 6) 4. Т1.8. Найдите f ( 4), если f (x) = (x 5)(x + 5) 4. Т1.9. Найдите y ( 4), если y = (x + 3) 7 (x + 7) 3. Т1.10. Найдите f ( 3), если f (x) = (x + 1)(x + )(x + 3). Образец написания: 1

14 Тренировочная работа Ответы: Т.1. Найдите точку минимума функции Т.1 y = x 3 x + x. Т.. Найдите точку максимума функции Т. y = 9 4x + 4x x 3. Т.3. Найдите точку минимума функции Т.3 y = x 3 3,5x + x 3. Т.4. Найдите точку максимума функции Т.4 y = x 3 + x 8x 7. Т.5. Найдите точку минимума функции Т.5 y = x 3 4x 3x 1. Т.6. Найдите точку максимума функции Т.6 y = x 3 + 8x + 16x + 3. Т.7. Найдите точку минимума функции Т.7 y = x 3 + x 16x + 5. Т.8. Найдите точку максимума функции Т.8 y = x 3 + 4x + 4x + 4. Т.9. Найдите точку минимума функции Т.9 y = x 3 4x 8x + 8. Т.10. Найдите точку максимума функции Т.10 y = x 3 + 5x + 3x Образец написания:

15 Ответы: Т3.1 Т3. Т3.3 Т3.4 Т3.5 Т3.6 Т3.7 Т3.8 Т3.9 Т3.10 Образец написания: Тренировочная работа 3 Т3.1. Найдите наименьшее значение функции y = 3x x на отрезке [ 4; 0]. Т3.. Найдите наибольшее значение функции y = 4x 4x x 3 на отрезке [1; 3]. Т3.3. Найдите наименьшее значение функции y = x 3 x + x + 5 на отрезке [1; 4]. Т3.4. Найдите наибольшее значение функции y = x 3 + x 8x 8 на отрезке [ 3; 0]. Т3.5. Найдите наименьшее значение функции y = x 3 4x 3x 11 на отрезке [0; 6]. Т3.6. Найдите наибольшее значение функции y = (x + 6)(x 36) на отрезке [ 4; 3]. Т3.7. Найдите наименьшее значение функции y = (x 3)(x + 3) на отрезке [ ; ]. Т3.8. Найдите наибольшее значение функции y = (x ) + (x ) 3 на отрезке [1; ]. Т3.9. Найдите наименьшее значение функции y = (1 x)(x 4) на отрезке [0; 3]. Т3.10. Найдите наибольшее значение функции y = (x 10)(x 11x + 10) на отрезке [ 1; 7]. 14

16 Дробно-рациональные функции. Решениязадач3и4диагностическойработы 3. Найдите точку минимума функции y = 5 x + x + 5. Решение. Найдем производную данной функции: y = 5 x + 1. Определим промежутки знакопостоянства производной, приведя полученное выражение к общему знаменателю и разложив числитель на множители: x 5 (x 5)(x + 5) =. x x Вточкеx = 5 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, эта точка и является единственной точкой минимума. Ответ: Найдите наибольшее значение функции y = x + 9 x на отрезке [ 4; 1]. Решение. Найдем производную данной функции: y = 1 9 x. Приведем полученное выражение к общему знаменателю и разложим числитель на множители: x 9 (x 3)(x + 3) =. x x Отрезку [ 4; 1] принадлежит только точка x = 3, в которой производная меняет знак с плюса на минус. Таким образом, точка x = 3 является точкой максимума и единственной точкой экстремума на данном отрезке. Значит, своего наибольшего значения на данном отрезке функция достигает именно в этой точке. Найдем наибольшее значение: Ответ: 6. y( 3) = = 6. 15

17 Т4.1 Т4. Т4.3 Т4.4 Т4.5 Т4.6 Т4.7 Т4.8 Т4.9 Ответы: Т4.1. Найдите f 1,если Т4.. Найдите y (1), если Т4.3. Найдите f 3 4 Тренировочная работа 4,если Т4.4. Найдите g ( 1), если Т4.5. Найдите y ( 10), если Т4.6. Найдите g (7), если f (x) = 3x. y(x) = 7 x 3. f (x) = 5x + 9x g(x) = 4x + 3x + 7. x y = 8(x + 9) 10. g(x) = Т4.7. Найдите f ( 4,5), если Т4.8. Найдите y (), если Т4.9. Найдите g (), если 7 (x 6) 5. f (x) = x 4 x 16. y(x) = g(x) = 5 (4x 9) x 15. Т4.10 Образец написания: Т4.10. Найдите y ( 3), если y = 7x + x

18 Тренировочная работа 5 Ответы: Т5.1. Найдите точку минимума функции Т5.1 y = x x. Т5.. Найдите точку максимума функции Т5. y = x x Т5.3. Найдите точку минимума функции Т5.3 y = x x Т5.4. Найдите точку максимума функции Т5.4 y = 7 0,5x x. Т5.5. Найдите точку минимума функции Т5.5 y = 4 x + x + 4. Т5.6. Найдите точку максимума функции Т5.6 y = 7 x 0,5x + 6. Т5.7. Найдите точку минимума функции Т5.7 y = 0,5x + 1 x + 1,5. Т5.8. Найдите точку максимума функции Т5.8 y = 16 x x + 9. Т5.9. Найдите точку минимума функции Т5.9 y = x 54 x Т5.10. Найдите точку максимума функции Т5.10 y = 18 x x Образец написания:

19 Ответы: Тренировочная работа 6 Т6.1 Т6. Т6.3 Т6.4 Т6.5 Т6.6 Т6.7 Т6.8 Т6.1. Найдите наименьшее значение функции y = x + 16 x на отрезке [; 8]. Т6.. Найдите наибольшее значение функции y = x + 7x + 49 x на отрезке [ 14; 1]. Т6.3. Найдите наименьшее значение функции y = x 6x + 36 x на отрезке [3; 9]. Т6.4. Найдите наибольшее значение функции y = x 8x + 64 x на отрезке [ 16; 4]. Т6.5. Найдите наименьшее значение функции y = x + 10x x на отрезке [1; 0]. Т6.6. Найдите наибольшее значение функции y = x3 + x + 9 x x на отрезке [ 9; 1]. Т6.7. Найдите наименьшее значение функции y = x x x 3 x на отрезке [1; 10]. Т6.8. Найдите наибольшее значение функции Образец написания: на отрезке [ 4; 1]. y = 16 x3 x 18

20 Тренировочная работа 6 Ответы: Т6.9. Найдите наименьшее значение функции Т6.9 y = x3 54 x на отрезке [ 6; 1]. Т6.10. Найдите наибольшее значение функции Т6.10 на отрезке [ 10; 1]. y = x x3 x Образец написания: 19

21 Иррациональные функции. Решения задач 5 и 6 диагностической работы 5. Найдите точку максимума функции y = 7 + 6x x 3. Решение. Найдем производную данной функции: y = 6 3x 1, y = 3 x. Производная обращается в нуль, если x =, т. е. x = 4. В точке x = 4 производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, эта точка и является единственной точкой максимума. Ответ: Найдите наименьшее значение функции y = x 3 3x + 1 на отрезке [1; 9]. Решение. Найдем производную данной функции: y = 3 x 1 3, y = 3 x. Производная обращается в нуль, если x =, т. е. x = 4. В точке x = 4 производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является единственной точкой минимума на данном отрезке, и наименьшего значения на этом отрезке функция достигает именно в этой точке. Найдем наименьшее значение: Ответ: 3. y(4) = = 3. 0

22 Тренировочная работа 7 Ответы: Т7.1. Найдите f (9), если Т7.1 f (x) = 18 x. Т7.. Найдите g (8), если Т7. g(x) = 0 x Т7.3. Найдите f (), если Т7.3 f (x) = 4x 7. Т7.4. Найдите y (5), если Т7.4 y(x) = 7 6x Т7.5. Найдите y (1), если Т7.5 y(x) = 49x 5 7. Т7.6. Найдите g (18), если Т7.6 g(x) = x 1 6 x 8 9 x Т7.7. Найдите g (1), если Т7.7 g(x) = 48 8 x 1 x. Т7.8. Найдите f (1), если Т7.8 f (x) = 15 5 x x. Т7.9. Найдите g (1), если Т7.9 g(x) = x7, + x,7 x 4,5. Т7.10. Найдите y (1), если Т7.10 y = x,6 9 x 1, Образец написания:

23 Ответы: Тренировочная работа 8 Т8.1 Т8.1. Найдите точку минимума функции y = 4 3 x x 6x + 1. Т8. Т8.3 Т8.4 Т8.. Найдите точку максимума функции y = + 3x x x. Т8.3. Найдите точку минимума функции y = x x 1,5x +. Т8.4. Найдите точку максимума функции y = 7 + 8x 4 3 x x. Т8.5 Т8.6 Т8.7 Т8.8 Т8.9 Т8.10 Т8.5. Найдите точку минимума функции y = (x 9) x. Т8.6. Найдите точку максимума функции y = (6 x) x. Т8.7. Найдите точку минимума функции y = (x 1) x. Т8.8. Найдите точку максимума функции y = (15 x) x. Т8.9. Найдите точку минимума функции y = x x 3 x +. Т8.10. Найдите точку максимума функции y = x x x. Образец написания:

24 Тренировочная работа 9 Ответы: Т9.1. Найдите наименьшее значение функции Т9.1 y = (x 1) x на отрезке [1; 9]. Т9.. Найдите наибольшее значение функции Т9. y = 7 6 x 5x 3 на отрезке [1; 4]. Т9.3. Найдите наименьшее значение функции Т9.3 y = x x + 7 на отр езке [4; 16]. Т9.4. Найдите наибольшее значение функции Т9.4 y = (7 x) x + 5 на отр езке [ 4; 4]. Т9.5. Найдите наименьшее значение функции Т9.5 y = (x 11) x + 1 на отр езке [0; 8]. Т9.6. Найдите наибольшее значение функции Т9.6 y = (10 x) x + на отр езке [ 1; 7]. Т9.7. Найдите наименьшее значение функции Т9.7 y = (x 15) x на отр езке [ 8; 4]. Т9.8. Найдите наибольшее значение функции Т9.8 y = (8 x) x на отр езке [ 3; 5]. Т9.9. Найдите наименьшее значение функции Т9.9 y = (x 0) x на отр езке [ 6; ]. Т9.10. Найдите наибольшее значение функции Т9.10 y = 5 (x 14) x + 13 на отрезке [ 9; 3]. 3 Образец написания:

25 Тригонометрические функции. Решения задач 7 и 8 диагностической работы 7. Найдите точку минимума функции y = (0,5 x)cosx + sin x, принадлежащую промежутку 0; π. Решение. Сначала найдем производную данной функции, применив правило для вычисления производной произведения двух функций: y = (0,5 x) cos x + (0,5 x)(sin x) + (cos x), т. е. y = cos x (0,5 x)sinx + cos x, и, следовательно, y = (0,5 x)sinx, илиy = (x 0,5) sin x. На промежутке 0; π производная обращается в нуль только при x = 0,5, поскольку sin x > 0приx 0; π.вточкеx = 0,5 производная меняет знак с минуса на плюс, и эта точка является единственной точкой минимума на данном промежутке. Ответ: 0,5. 8. Найдите наибольшее значение функции y = 4 cosx + 4x π + 4 на отрезке 0; π. Решение. Найдем производную данной функции: y = 4 sinx + 4. Производная обращается в нуль, если 4 sinx = 4, т. е. sin x = 1. Отрезку 0; π принадлежит единственный корень x = π 4 полученного уравнения. В точке x = π производная меняет знак 4 с плюса на минус, эта точка является единственной точкой максимума на данном отрезке, и наибольшего значения на этом отрезке функция достигает именно в этой точке. Найдем наибольшее значение: π y = 4 cos π π 4 π + 4, т. е. y π = 8. 4 Ответ: 8. 4

26 Т10.1. Найдите f 3π Тренировочная работа 10,если Т10.1 f (x) = sinx + 7cosx. Т10.. Найдите y 5π,если Т10. 4 Ответы: y(x) = 9 sinx 7tgx. Т10.3. Найдите g 5π,если Т g(x) = 9tgx 8cosx. Т10.4. Найдите y 3π,если Т y = 3cos7x. Т10.5. Найдите f 1,если Т Т10.6. Найдите y 11π 4 f (x) = 3 π sin(13πx).,если Т10.6 y = tg x. 11,если Т10.7 Т10.7. Найдите g 4π 3 g(x) = 1 sin x. Т10.8. Найдите f 5π,если Т f (x) = 18 cos x. Т10.9. Найдите y π,если Т y(x) = sin 7x cos 7x. Т Найдите g π,если Т g(x) = sin 4x cos 1x. 5 Образец написания:

27 Ответы: Тренировочная работа 11 Т11.1 Т11. Т11.3 Т11.4 Т11.5 Т11.6 Т11.1. Найдите точку максимума функции y = x sin x + cos x 3sinx + 1, π принадлежащую промежутку ; π. Т11.. Найдите точку минимума функции y = (x 1,5) sin x + cos x, принадлежащую промежутку 0; π. Т11.3. Найдите точку максимума функции y = (6 5x)sinx 5cosx + 6, принадлежащую промежутку 0; π. Т11.4. Найдите точку минимума функции y = cosx (1 x)sinx + 1, принадлежащую промежутку 0; π. Т11.5. Найдите точку максимума функции y = cosx (5 x)sinx + 4, π принадлежащую промежутку ; π. Т11.6. Найдите точку минимума функции y = x sin x + cos x 3 sin x, 4 принадлежащую промежутку 0; π. Т11.7 Т11.7. Найдите точку максимума функции y = sin x 4cosx 4x sin x + 5, принадлежащую промежутку 0; π. Образец написания: 6

28 Тренировочная работа 11 Ответы: Т11.8. Найдите точку минимума функции Т11.8 y = 3(x 1,5) sin x + 3cosx +, принадлежащую промежутку 0; π. Т11.9. Найдите точку максимума функции Т11.9 y = ( 5x)sinx 5cosx + 3, принадлежащую промежутку 0; π. Т Найдите точку минимума функции Т11.10 y = 4sinx + (5 x)cosx 7, π принадлежащую промежутку ; π. 7 Образец написания:

29 Ответы: Тренировочная работа 1 Т1.1 Т1. Т1.3 Т1.4 Т1.5 Т1.6 Т1.7 Т1.8 Образец написания: Т1.1. Найдите наименьшее значение функции y = 9 + 3π 3 3x 6cosx на отрезке 0; π. Т1.. Найдите наибольшее значение функции y = 6sinx 36 π x + 7 на отрезке 5π 6 ; 0. Т1.3. Найдите наименьшее значение функции y = 5cosx 4 π x + 9 на отрезке π 3 ; 0. Т1.4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке π 4 ; 0. y = 9tgx 8x + 7 Т1.5. Найдите наименьшее значение функции y = 4x 5tgx 5π + 4 3π на отрезке 4 ; 5π. 4 Т1.6. Найдите наибольшее значение функции y = 5tgx 4x + π + 9 на отрезке π 4 ; π. 4 Т1.7. Найдите наименьшее значение функции 3 y = 3 π cosx 3x 5 на отрезке 0; π. Т1.8. Найдите наибольшее значение функции y = sinx 3 3x + 6 π + 7 на отрезке 0; π. 8

30 Тренировочная работа 1 Ответы: Т1.9. Найдите наименьшее значение функции Т1.9 y = 7sinx + 8cosx 17x 18 на отрезке π ; 0. Т1.10. Найдите наибольшее значение функции Т1.10 y = 4sinx 5cosx + 11x 13 на отрезке 3π ; 0. 9 Образец написания:

31 Показательная функция. Решения задач 9 и 10 диагностической работы 9. Найдите точку максимума функции y = (x 17x 17)e 7 x. Решение. Сначала найдем производную данной функции, применив правило для вычисления производной произведения двух функций: y = (x 17x 17) e 7 x + (x 17x 17) e 7 x, т. е. y = (x 17)e 7 x + (x 17x 17) e 7 x, и, следовательно, y = (x 19x)e 7 x, или y = x(x 19)e 7 x. Производная обращается в нуль при x = 0иx = 19, причем меняет знак с плюса на минус в точке x = 19. Эта точка и является единственной точкой максимума. Ответ: Найдите наименьшее значение функции y = (x 13)e x 1 на отрезке [11; 13]. Решение. Сначала найдем производную данной функции, применив правило для вычисления производной произведения двух функций: y = (x 13) e x 1 + (x 13)(e x 1 ), т. е. y = e x 1 + (x 13)e x 1, и, следовательно, y = (x 1)e x 1.Вточкеx = 1 производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является единственной точкой минимума на данном отрезке, и наименьшего значения на этом отрезке функция достигает именно в этой точке. Найдем наименьшее значение: y(1) = (1 13)e 1 1 = 1. Ответ: 1. 30

32 Тренировочная работа 13 Ответы: Т13.1. Найдите f (), если Т13.1 f (x) = 7x ln 7. Т13.. Найдите y ( ), если Т13. y = x 5 x ln 10. Т13.3. Найдите f ( 6), если Т13.3 f (x) = 6x+8 ln 6. Т13.4. Найдите y ( ), если Т13.4 y = 9 x ln 9. Т13.5. Найдите f (14), если Т13.5 f (x) = 7 6 x 7 ln 6. Т13.6. Найдите y (,5), если Т13.6 y = e x+5. Т13.7. Найдите f ( 18), если Т13.7 f (x) = (x + 8)e x+18. Т13.8. Найдите f (4), если Т13.8 f (x) = x + 3 e x 4. Т13.9. Найдите y (), если Т13.9 y = 73x 5 ln 7. Т Найдите y (5), если Т13.10 y = x ln 15. Образец написания: 31

33 Ответы: Тренировочная работа 14 Т14.1 Т14. Т14.3 Т14.4 Т14.5 Т14.6 Т14.7 Т14.8 Т14.9 Т14.10 Т14.1. Найдите точку минимума функции y = (x 5x + 5)e x 5. Т14.. Найдите точку максимума функции y = (x 8x + 8)e x 8. Т14.3. Найдите точку минимума функции y = (x 15x + 15)e x 15. Т14.4. Найдите точку максимума функции y = (x + 3) e 3 x. Т14.5. Найдите точку минимума функции y = (x 4) e x 4. Т14.6. Найдите точку максимума функции y = (x 6) e x 6. Т14.7. Найдите точку минимума функции y = (4 x)e 5 x. Т14.8. Найдите точку максимума функции y = (x 6)e 7 x. Т14.9. Найдите точку минимума функции y = (x 3)e x 3. Т Найдите точку максимума функции y = (x + x + 1)e x+4. Образец написания: 3

34 Ответы: Тренировочная работа 15 Т15.1. Найдите наименьшее значение функции Т15.1 y = 8 + (x 7)e x 6 на отрезке [3; 9]. Т15.. Найдите наибольшее значение функции Т15. y = (x 11)e 1 x + 13 на отрезке [5; 15]. Т15.3. Найдите наименьшее значение функции Т15.3 y = 5 (x 3)e 4 x на отрезке [0; 7]. Т15.4. Найдите наибольшее значение функции Т15.4 y = (x 4) e x на отрезке [1; 3]. Т15.5. Найдите наименьшее значение функции Т15.5 y = (x 3) e 5 x на отрезке [4; 6]. Т15.6. Найдите наибольшее значение функции Т15.6 y = 6 + (x 7) e x 5 на отрезке [4; 6]. Т15.7. Найдите наименьшее значение функции Т15.7 y = 4 (x 4) e x на отрезке [1; 3]. Т15.8. Найдите наибольшее значение функции Т15.8 y = (x 6) e 8 x на отрезке [7; 9]. Т15.9. Найдите наименьшее значение функции Т15.9 y = (x 5x + 5)e x 3 на отрезке [1; 5]. Т Найдите наибольшее значение функции Т15.10 y = (3 x )e x 1 на отрезке [0; ]. Образец написания: 33

35 Логарифмическая функция. Решения задач 11 и 1 диагностической работы 11. Найдите точку минимума функции y = x 5lnx. Решение. Функция определена на (0; + ). Найдем производную данной функции: y = 1 5 x, т. е. y = x 5. x Производная меняет знак в единственной точке x = 5, причем знак производной в этой точке меняется с минуса на плюс. Следовательно, эта точка и является единственной точкой минимума данной функции. Ответ: Найдите наибольшее значение функции y = 5 7x + 7ln(x + 3) на отрезке [,5; 0]. Решение. Найдем производную данной функции: y = x + 3, т. е. y = 7 x + x + 3. Производная меняет знак в единственной точке x =, причем знак производной в этой точке меняется с плюса на минус. Эта точка является единственной точкой максимума на данном отрезке, и наибольшего значения на этом отрезке функция достигает именно в этой точке. Найдем наибольшее значение: y( ) = 5 7 ( ) + 7ln( + 3) = 19. Ответ:

36 Тренировочная работа 16 Ответы: Т16.1. Найдите f (7), если Т16.1 f (x) = 8 ln x. Т16.. Найдите y ( 7), если Т16. y = 15 ln(x + 10). Т16.3. Найдите f (5), если Т16.3 f (x) = ln(6x 5). Т16.4. Найдите y (5), если Т16.4 y = ln x 4 x + 5. Т16.5. Найдите f ( 4), если Т16.5 f (x) = 5x + 4ln(x + 6). Т16.6. Найдите y (5), если Т16.6 y = 3x ln(x 4). Т16.7. Найдите f ( ), если Т16.7 f (x) = 4x ln(x + 3). Т16.8. Найдите f (), если Т16.8 f (x) = ln(x 1) x +. Т16.9. Найдите y (3), если Т16.9 y = 6x + log 5 (x + 5) x 48 ln5. Т Найдите y (6), если Т16.10 y = 5x + x ln 7 6log 7 x. 35 Образец написания:

37 Ответы: Тренировочная работа 17 Т17.1 Т17. Т17.3 Т17.4 Т17.5 Т17.6 Т17.7 Т17.8 Т17.9 Т17.10 Т17.1. Найдите точку максимума функции y = lnx 5x + 7. Т17.. Найдите точку максимума функции y = ln(x 8) x + 5. Т17.3. Найдите точку минимума функции y = x ln(x 7) + 7. Т17.4. Найдите точку максимума функции y = 4ln(x 3) x + 3. Т17.5. Найдите точку минимума функции y = x 5ln(x 7). Т17.6. Найдите точку максимума функции y = 18 ln x x. Т17.7. Найдите точку минимума функции y = x 7ln(x 8) + 5. Т17.8. Найдите точку максимума функции y = ln(x + 5) 5x + 5. Т17.9. Найдите точку минимума функции y = (x 3) 8lnx. Т Найдите точку максимума функции y = 6lnx (x ). Образец написания: 36

38 Тренировочная работа 18 Ответы: Т18.1. Найдите наименьшее значение функции Т18.1 y = 5x ln(x + 5) 5 на отрезке [ 4,5; 1]. Т18.. Найдите наибольшее значение функции Т18. y = 3ln(x + ) 3x + 10 на отрезке [ 1,5; 0]. Т18.3. Найдите наименьшее значение функции Т18.3 y = x + 0x 18 ln x на отрезке [0,1; 8,1]. Т18.4. Найдите наибольшее значение функции Т y = 7 7x + ln(7x) на отр езке 13 ; 1. 3 Т18.5. Найдите наименьшее значение функции Т18.5 y = x lnx + 1 на отр езке [0,3; 3,3]. Т18.6. Найдите наибольшее значение функции Т y = ln(13x) 13x + 13 на отрезке 15 ; Т18.7. Найдите наименьшее значение функции Т18.7 y = 3x 11 11x + 5lnx + 7 на отр езке 1 ; Т18.8. Найдите наибольшее значение функции Т18.8 y = 7 ln x + 5x x 1 на отрезке ; 7. 6 Т18.9. Найдите наименьшее значение функции Т18.9 y = 3x 10x + 4lnx на отрезке [0,8; 1,]. Т Найдите наибольшее значение функции Т18.10 y = 3 x 1 + 7x 5lnx на отрезке 8 ; Образец написания:

39 Ответы: Диагностическая работа 1 Д1.1 Д1.1. Найдите точку минимума функции y = 7 + 1x x 3. Д1. Д1.. Найдите наибольшее значение функции y = x 3 3x + 4 на отрезке [ ; 0]. Д1.3 Д1.3. Найдите точку максимума функции y = 16 x + x + 3. Д1.4 Д1.5 Д1.4. Найдите наименьшее значение функции y = x + 36 x на отрезке [1; 9]. Д1.5. Найдите точку минимума функции y = 3 x 3 x + 1. Д1.6 Д1.6. Найдите наибольшее значение функции y = 3x x 3 на отрезке [0; 4]. Д1.7 Д1.8 Д1.7. Найдите точку максимума функции y = (x 3) cos x sinx + 5, принадлежащую промежутку 0; π. Д1.8. Найдите наименьшее значение функции Образец написания: y = 6sinx 9x + 5 на отрезке 3π ; 0. 38

40 Диагностическая работа 1 Ответы: Д1.9. Найдите точку минимума функции Д1.9 y = (x 7)e x+7. Д1.10. Найдите наибольшее значение функции Д1.10 y = (x 9)e 10 x на отрезке [ 11; 11]. Д1.11. Найдите точку максимума функции Д1.11 y = ln x x. Д1.1. Найдите наименьшее значение функции Д1.1 y = 4x 4lnx + 5 на отрезке [0,5; 5,5]. 39 Образец написания:

41 Ответы: Диагностическая работа Д.1 Д. Д.3 Д.4 Д.1. Найдите точку максимума функции y = 5 + 4x x3 3. Д.. Найдите наибольшее значение функции y = x 3 6x на отрезке [ 3; 3]. Д.3. Найдите точку минимума функции y = 49 x + x Д.4. Найдите наибольшее значение функции y = x + 4 x + 4 Д.5 на отрезке [ 4; 1]. Д.5. Найдите точку максимума функции y = x 4x 3. Д.6 Д.7 Д.8 Д.6. Найдите наибольшее значение функции y = 6x x x + 1 на отрезке [9; 5]. Д.7. Найдите точку минимума функции y = 5sinx 5(x 1) cos x + 4, принадлежащую промежутку 0; π. Д.8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке y = 1 cos x + 6 3x 3π + 6 0; π. Д.9 Образец написания: Д.9. Найдите точку максимума функции y = (x 17x + 17)e 7 x. 40

42 Диагностическая работа Ответы: Д.10. Найдите наибольшее значение функции Д.10 y = 4 + (x 5)e 6 x на отрезке [1; 8]. Д.11. Найдите точку минимума функции Д.11 y = x 7lnx + 6. Д.1. Найдите наибольшее значение функции Д.1 y = 5lnx 5x + 7 на отрезке [0,7; 1,7]. 41 Образец написания:

43 Ответы: Диагностическая работа 3 Д3.1 Д3. Д3.3 Д3.1. Найдите точку минимума функции y = x3 9x 7. 3 Д3.. Найдите наибольшее значение функции y = 9x x 3 на отрезке [1; 10]. Д3.3. Найдите точку максимума функции y = 9 x + x + 9. Д3.4 Д3.5 Д3.4. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [4; 16]. y = x + 64 x + 8 Д3.5. Найдите точку максимума функции y = + 5x 3 x x. Д3.6 Д3.7 Д3.8 Д3.9 Образец написания: Д3.6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [36; 81]. y = x x 1x + 11 Д3.7. Найдите точку минимума функции y = cosx + sin x x cos x, π принадлежащую промежутку ; π. Д3.8. Найдите наибольшее значение функции y = 11x 5cosx + на отрезке π ; 0. Д3.9. Найдите точку максимума функции y = (x + 8)e 8 x. 4

44 Диагностическая работа 3 Ответы: Д3.10. Найдите наименьшее значение функции Д3.10 y = (x + 4)e x+5 на отрезке [ 9; 9]. Д3.11. Найдите точку минимума функции Д3.11 y = x 5lnx + 3. Д3.1. Найдите наибольшее значение функции Д3.1 y = ln(x + 3) 3 3x на отрезке [,5;,5]. 43 Образец написания:

45 Ответы: Диагностическая работа 4 Д4.1 Д4. Д4.3 Д4.4 Д4.5 Д4.1. Найдите точку максимума функции y = x 3 5x + 7x 5. Д4.. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [1; 4]. y = x 3 3x + Д4.3. Найдите точку максимума функции y = x + 5. x Д4.4. Найдите наибольшее значение функции y = x + 5 x на отрезке [ 10; 1]. Д4.5. Найдите точку минимума функции y = 1 3 x 3 3x + 5. Д4.6 Д4.7 Д4.8 Д4.9 Образец написания: Д4.6. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [1; 16]. y = (7 x) x Д4.7. Найдите точку максимума функции y = 3 4sinx (5 4x)cosx, принадлежащую промежутку 0; π. Д4.8. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0; 3π]. y = sinx + 7x 11 Д4.9. Найдите точку минимума функции y = (x + 5)e x 5. 44

46 Диагностическая работа 4 Ответы: Д4.10. Найдите наибольшее значение функции Д4.10 y = (8 x)e x 7 на отрезке [3; 10]. Д4.11. Найдите точку максимума функции Д4.11 y = ln(x + ) x + 3. Д4.1. Найдите наименьшее значение функции Д4.1 y = x ln(x + 3) + 3 на отрезке [,5; 1]. 45 Образец написания:

47 Ответы: Диагностическая работа 5 Д5.1 Д5. Д5.3 Д5.4 Д5.5 Д5.1. Найдите точку минимума функции y = 7 + 1x x 3. Д5.. Найдите наибольшее значение функции y = x 3 3x + 4 на отрезке [ ; 0]. Д5.3. Найдите точку максимума функции y = 16 x + x + 3. Д5.4. Найдите наименьшее значение функции y = x + 36 x на отрезке [1; 9]. Д5.5. Найдите точку минимума функции y = 3 x 3 x + 1. Д5.6 Д5.6. Найдите наибольшее значение функции y = 3x x 3 на отрезке [0; 4]. Д5.7 Д5.8 Д5.9 Образец написания: Д5.7. Найдите точку максимума функции y = (x 3) cos x sinx + 5, принадлежащую промежутку 0; π. Д5.8. Найдите наименьшее значение функции y = 6sinx 9x + 5 на отрезке 3π ; 0. Д5.9. Найдите точку минимума функции y = (x 7)e x+7. 46

48 Диагностическая работа 5 Ответы: Д5.10. Найдите наибольшее значение функции Д5.10 y = (x 9)e 10 x на отрезке [ 11; 11]. Д5.11. Найдите точку максимума функции Д5.11 y = ln x x. Д5.1. Найдите наименьшее значение функции Д5.1 y = 4x 4lnx + 5 на отрезке [0,5; 5,5]. 47 Образец написания:

49 Ответы: Образец написания:. Вычисление наибольшихи наименьших значений функций без применения производной Диагностическая работа 1. Найдите наименьшее значение функции y = x 3 + 3x.. Найдите наибольшее значение функции y = log (1 x x ). 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 9 x 3 x на отрезке [ 1; ]. 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = sinx cos x + cos x. 5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 4x 1 x x Найдите наибольшее значение функции y = x + 1 x + x Найдите наименьшее значение функции y = 3 x x. 8. Найдите наименьшее значение функции y = x x + x Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = sin 3x + cos 3x. 10. Найдите наименьшее значение функции y = (x 3) Найдите наибольшее значение функции (x ) + 4. y = x + 1 4x. 1. Найдите наименьшее значение функции 4x 4 3x + 9 4x 4 8x + 9 y = log 0,5 x на интервале (0; ). 48

50 Методические рекомендации Методические рекомендации Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции (как, впрочем, и любой другой алгоритм) не является единственным способом решения предложенной задачи. Можно, например, исследовать функцию на монотонность на данном отрезке и, исходя из этого исследования, найти наибольшее и наименьшее значения. Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения линейной или квадратичной функции на отрезке, вовсе не обязательно применять алгоритм исследования функции с помощью производной: достаточно ограничиться известными свойствами линейной и квадратичной функций. Для функции y = 7x + 3 наибольшим и наименьшим значениями на отрезке [ 1; ] будут соответственно числа y( 1) = 10 и y() = 11, так как функция убывает на данном отрезке. При вычислении наибольшего и наименьшего значений функции y = x x 5наотрезке[0; 7] можно поступить следующим образом. Абсцисса x 0 = 1вершиныпараболы,являющейся графиком квадратичной функции y = x x 5, принадлежит отрезку [0; 7], поэтому наименьшего значения эта функция достигает в точке x 0 = 1 (это значение: y(1) = 6), а наибольшего в том из концов отрезка [0; 7], который наиболее удален от x 0,т.е.приx = 7 (это значение легко вычислить: y(7) = 30). Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y = sin3x + 1 на отрезке [000; 011], достаточно заметить, что длина данного отрезка больше периода функции и, следовательно, наибольшее и наименьшее значения на функции на данном отрезке равны соответственно 3 и 1 наибольшему и наименьшему значениям функции на всей области определения. Решение задачи с применением алгоритма в данном случае окажется существенно более долгим и сложным. Найдем теперь наибольшее значение непрерывной на всей числовой прямой функции y = 3 x x 5 + x 17 5x 9. Здесь нужно обратить внимание на то, что при x > 5 второй модуль «раскрывается» со знаком «плюс» и при любом «раскрытии» остальных модулей коэффициент при x будет отрицательным, так как ±3 11 ± 5 < 0. Аналогично при x < 5второймодуль «раскрывается» со знаком «минус», и при любом «раскрытии» остальных модулей коэффициент при x будет положительным, так как ± ± 5 > 0. Значит, график функции состоит из частей (отрезков или лучей) прямых y = k i x + b i,гдеk i > 0при x < 5иk i < 0приx > 5. Поэтому на промежутке ( ; 5] данная функция возрастает, а на промежутке [5; + ) убывает, и своего наибольшего значения она достигает в точке x = 5. Это значение равно y(5) = = 0. Ключом к решению этой задачи послужило то, что модуль коэффициента при переменной 49

51 . Вычисление наибольших и наименьших значений без производной у одного из слагаемых оказался больше любой комбинации сумм и разностей остальных таких коэффициентов. Это позволило сделать вывод о промежутках возрастания и убывания функции. В том случае, если знак такого коэффициента определяется однозначно, решение может оказаться еще проще. Прежде чем переходить к систематическому изложению методов вычисления наибольших и наименьших значений функции без применения производной, рассмотрим еще один пример: найдем наименьшее и наибольшее значения функции y = x + 3 x x x x + 16 на отрезке [0; 6]. Заметим, что при любом «раскрытии» модулей коэффициент при переменной будет положительным, так как ± ± 3 ± 4 ± > 0. Значит, график функции состоит из частей (отрезков или лучей) прямых y = k i x + b i,гдеk i > 0. Следовательно, данная функция возрастает на всей числовой прямой и, в частности, на отрезке [0; 6]. Поэтому min y(x) = y(0) = 70, max y(x) = y(6) = 136. [0;6] [0;6] 50

52 Применение свойств функций. Решение задач 1 6 диагностической работы Применение свойств функций. Решение задач 1 6 диагностической работы Монотонность и ограниченность При вычислении наибольших и наименьших значений функций во многих случаях можно обойтись без применения производной, используя свойства монотонных и ограниченных функций. Пример 1 (задача 1 диагностической работы). Найдите наименьшее значение функции y = x 3 + 3x. 3 ;. Данная функция являет- Решение. Область определения функции: D(y) = ся возрастающей на D( y) как сумма двух возрастающих функций. Поэтому 3 5 y(x) y =. 3 5 Ответ: miny(x) = y =. Пример (задача диагностической работы). функции y = log (1 x x ). Решение. Имеем 1 x x = 5 4 x + 1 Найдите наибольшее значение 5 4.Функцияlog t является возрастающей на своей области определения, поэтому log (1 x x 5 ) log на D(y), причем 4 знак равенства достигается при x = 1. Ответ: maxy(x) = y 1 5 = log 4. Пример 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 1 sin π y = cos x. Решение. Имеем π π cos x π,анаотрезке π ; π функция sin t является возрастающей, поэтому sin π π т. е. 1 sin cos x 1. Функция π sin cos x sin π, 1 z является убывающей на, следовательно, sin π cos x 1 1 =. 51