1.3. Предельные величины в экономике и оптимизация прибыли

Если же Y ( X ) является дифференцируемой функцией, то предельную величину рассматривают при ∆ X → 0 :

MY = lim ∆ Y = Y ′ ( X ) .

Одной из задач оптимизации, естественно возникающих в микроэкономике, является задача об оптимизации прибыли. Необходимое условие максимизации прибыли формулируют как равенство предельного дохода предельным издержкам, т.е.

Если функции выручки и издержек являются дифференцируемы-

ми, то условие (1.3) можно записать в виде R ( q ) = C ( q ). При этом,

так как функция прибыли Π ( q )

равна разности функций дохода и из-

Π ( q ) = R ( q ) − C ( q ) , то

записывается как R ( q ) − C ( q ) = 0, что эквивлентно (1.3).

Пример 1.6. Пусть

C ( q ) = 2 q 3 − 332 q 2 + 7000 q + 800 − функция

полных затрат на производство q единиц товара,

R ( q ) = 1000 q − 2 q 2 −

функция дохода от продажи. Найти максимум прибыли.

Решение. Находим функциюприбыли

Π ( q ) = R ( q ) − C ( q ) = − 2 q 3 + 330 q 2 − 6000 q − 800,

q 1 = 10 и q 2 = 100 (рис. 1.1).

Таким образом, максимум прибыли достигается в точке q = 100 и

Π max = Π (100) = 699200. Заметим, что Π min = Π (10) = − 29800 . Отрица-

тельная прибыль при низком объеме выпуска товаров объясняется тем, что затраты на их производство больше выручки отпродажи.

Пример 1.7. Функция спроса q = D ( p ) = 2000 − 100 p , фиксированные издержки равны FC = 25 и переменные издержки VC = 10 q + 0,03 q 2 . Найти максимальную прибыль, множество безубы-

точности, предельные издержки и доход. Решение. Общие издержки равны

TC = VC + FC = 0,03 q 2 + 10 q + 25 .

Далее, изусловия q = 2000 − 100 p находим, что p = 20 − 0,01 q , и общая выручка TR = pq = 20 q – 0,01 q 2 . Отсюдаполучаем формулу для прибыли

Π ( q ) = TR − TC = − 0,04 q 2 + 10 q − 25

Из условия Π′ ( q ) = 0 получим 10 − 0,08 q = 0, т.е. q = 125. Легко проверить, что эта точка является точкой максимума, и Π max = Π ( 125 ) = 600.

Решая уравнение Π ( q ) = 0 , находим множество безубыточности,

состоящее из двух точек q 1,2 = 125 ± 50 6 , а п редельные издержки и выручка получаются как производные общих выручки и издержек:

MC = TC ′ = 0,06 q + 10 и MR = TR ' = 20 − 0,02 q .

Рассмотрим теперь задачу об оптимизации налогообложения .

Предположим, что на продукцию компании вводится (дополнительный) фиксированный налог t на каждую единицу реализованного то-

вара. Если ставка налога достаточно велика, то производство товара будет невыгодно, и это приведет к его остановке. Естественно, возникает вопрос о такой ставке налога, чтобы итоговый сбор был максимальным.

Пример 1.8 ( оптимизация налогообложения ). Пусть

R ( q ) = 54 q − 4 q 2 − доход (выручка) от продажи, а C ( q ) = q 2 − 6 q + 24 − затраты на выпуск продукта в зависимости от количества q . Найти величину налога t на каждую единицу продукта, чтобы налог T = tq от всей

реализуемой продукции был максимальным, и весь налоговый сбор. Как уменьшится количество выпускаемой продукции?

Решение. Найдем сначала объем производства без учета дополнительного налога. Так как Π 0 ( q ) = − 5 q 2 + 60 q − 24 , то из условия

Π 0 ′ ( q ) = − 10 q + 60 = 0 находим, что максимум прибыли достигается

при объеме производства q 0

Из-за введения дополнительного налога доход производителя

уменьшится на величину T

и составит R ( T ) ( q ) = 54 q − 4 q 2 − tq , а его

Π ( q ) = R ( T ) ( q ) − C ( q ) = − 5 q 2 + 60 q − tq − 24.

В результате компания исходит из того, чтобы при реализации товара получить максимальную прибыль. Решая уравнение Π′ ( q ) = 0,

60 − 10 q − t = 0, т.е. q = 6 − t /10.

Общая налоговая выплата будет составлять T = tq = 6 t − t 2 /10 . Вычислим теперь максимум функции T = T ( t ) . Из условия T ′ ( t ) = 0

следует, что 6 − t / 5 = 0, т.е. t = 30 . Легко видеть, что точка t = 30 является точкой максимума функции T ( t ). При этом весь налоговый

сбор T ( 30 ) = 6 30 − 30 2 /10 = 90

и объем производства равен

q = 6 − 30 /10 = 3. Таким образом,

введение дополнительного налога

уменьшает объем производства в два раза (с 6 до 3 единиц продукции).

Задачи для самостоятельного решения

7. Пусть C ( q ) = 2 q 3 − 376 q 2 + 4100 q + 2000 − функция полных затрат на производство q единиц товара, R ( q ) = 500 q − q 2 − функция дохода от продажи. Найти максимум прибыли.

8. Функция спроса задана в виде p = 15 − 0,004 q , фиксированные

издержки равны FC = 50 и переменные издержки VC = 6 q + 0,02 q 2 .

Найти максимальную прибыль, точку безубыточности, предельные издержки и доход.

9. Пусть R ( q ) = 66 q − 3 q 2 − доход (выручка) от продажи, а C ( q ) = q 2 − 6 q + 14 − затраты на выпуск продукта в зависимости от количества q . Найти величину налога t на каждую единицу продукта, чтобы налог T = tq от всей реализуемой продукции был максималь-

ным, и весь налоговый сбор. Как уменьшится количество выпускаемой продукции?

1.4. Основные виды функций нескольких переменных в экономических задачах

Рассмотрим теперь основные виды функций нескольких пере-

менных, которые встречаются в экономических задачах.

Пусть X 1 , X 2 , , X n

– ресурсы, используемые для производства,

а x 1 , x 2 , , x n – соответствующие количества.

Q = Q ( x 1 , x 2 , , x n )

называется функция, выражающая объем про-

дукции Q, полученной

X 1 , X 2 , , X n в количествах x 1 , x 2 , , x n соответственно.

Q называется однофакторной функцией, а при

n > 1 – многофакторной . В силу экономического смысла переменные x 1 , x 2 , , x n и значения Q предполагаются неотрицательными.

Различные виды производственных функций возникают в экономических задачах как функции, описывающие тот или иной производственный процесс и используются для анализа или прогноза деятельности компании, корпорации или отрасли.

Так, двухфакторная производственная функция Кобба–Дугласа

Q ( K , L ) = a K β L 1 − β , где a > 0 , 0 < β < 1,

названа в честь американских ученых Чарльза Кобба и Пола Дугласа,

которые в 1928 году предприняли попытку эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США. Они установили, что зависимость объема производства от объема используемого капитала и трудовых ресурсов связаны соотношением (1.4).

Функцией Кобба-Дугласа иногда называют двухфакторную функцию вида более общего вида

Q ( K , L ) = a K α L β ,

где a > 0 , α > 0 , β > 0.

Функции (1.4), (1.5) являются частными случаями мультиплика-

тивных производственных функций вида

Q ( x 1 , x 2 , , x n ) = a 0 x 1 a 1 x 2 a 2 x n a n ,

Наряду с мультипликативными производственными функциями

рассматривают также л инейные производственные функции вида

Q ( x 1 , x 2 , , x n ) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n ,

i = 0,1, , n , производственные функции Леонтьева

Q ( x 1 , x 2 , , x n ) = min < α 1 x 1 , α 2 x 2 , , α n x n >,

i = 1, , n , и другие.

Каждая этих производственных функций связана с тем или иным технологическим процессом.

Определение 1.5 . Геометрическое место точек в пространстве факторов, в которых различные сочетания факторов производства (ресурсов) дают одно и то же количество выпускаемой продукции называют изоквантой .

В связи с понятием изокванты естественно возникает вопрос о возможности замещения одного из ресурсов другими при сохранении объемов производства.

Так, если процесс описывается функцией Кобба-Дугласа (1.4), то из условия a K β L 1 − β = Q 0 легко выразить как K , так и L через осталь-

ные параметры производства. Поэтому для любого положительного количества одного ресурса можно подобрать такое количество другого ресурса, что возможно произвести любой требуемый объем продукции.

Наоборот, функция Леонтьева (1.7) характеризует такой производственный процесс, при котором замена одного ресурса другими невозможна при любом объеме производства, и и збыток одного ресурса не может компенсировать недостаток другого.

Рассмотрим еще один пример. Двухфакторная линейная производственная функция, функции Леонтьева и Кобба-Дугласа являются частными или предельными случаями производственной функции

CES (constant elasticity of substitution)

Q ( K , L ) = F ( a K − ρ + ( 1 − a ) L − ρ ) 1/ ρ ,

где F , a , ρ – некоторые параметры. Она была введена американским

экономистом Нобелевским лауреатом Р.Солоу в 1956 г. Оказывается, для изоквант функции (1.8) для каждого из ресурсов существуют пороговые значения, такие, что если количество ресурсов меньше этих значений, то замещение одного из ресурсов другим невозможно.

Подробнее о структуре изоквант для каждой из производственных функций (1.4), (1.7), (1.8) можно прочитать в пособии [10].

1.6. Функцией полезности

U = U ( x 1 , x 2 , , x n )

называется функция, описывающая предпочте-

на множестве товаров X 1 , X 2 , , X n

жающая ценность набора товаров в количествах

ветственно. При этом, если U ( x 1 , x 2 , , x n ) > U ( y 1 , y 2 , , y n ) для

двух различных наборов x = ( x 1 , x 2 , , x n ) и y = ( y 1 , y 2 , , y n ) , то набор x является более полезным для потребителя, чем набор y.

Ясно, что у каждого потребителя имеются свои предпочтения, поэтому и функция полезности у каждого индивидуальна. При решении практических задач нередко рассматривают (усреднённую) функцию полезности, характерную для некоторой категории потребителей.

Замечание 1.3. Из определения 1.6 следует, что значение функции полезности на данном наборе товаров безразлично. Существенным является лишь то, как это значение соотносится со значениями функции полезности на прочих наборах товаров.

Определение 1.7 . Геометрическое место точек в пространстве товаров, в которых различные комбинации товаров дают одно и то

же значение функции полезности U 0 = U ( x 1 , x 2 , , x n ) , называют ли-