Лекция Пространственные кривые. Задание линии в пространстве. Касательная кривой. длина кривой. Натуральный параметр кривой

1)Понятие кривой в пространстве. Параметрическое задание кривой.

2)Уравнения касательной в случае параметрического задания кривой и в случае задания кривой, как пересечения двух поверхностей.

3)Длина дуги кривой. Натуральный параметр кривой.

4)Определение 2.1 (Круг, радиус и центр кривизны, кривизна)

5)Определение 2.2 (главная нормаль и формула для её нахождения).

6)Определение 2.3 (бинормаль и формула для её нахождения).

7)Определение 2.4 (плоскостей сопровождающего трёхгранника).

8)Формулы Френе. Кручение.

9)Определение 2.5 (эволюты). Уравнение эволюты.

10)Определение 2.6 (эвольвенты).

2.1 ЗАДАНИЕ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Под кривой в пространстве будем понимать множествоГточек в пространстве, заданное, как непрерывный образ некоторого промежутка числовой оси.

Кривую можно задать параметрически:

или как годограф вектор-функции , .

2.2 КАСАТЕЛЬНАЯ КРИВОЙ.

Кривая называется дифференцируемой, непрерывно дифференцируемой, дважды дифференцируемой и т.д., если соответственно координатные функции в формуле (2.1) дифференцируемы, непрерывно дифференцируемы, дважды дифференцируемы и т.д.

ПустьГ– дифференцируемая кривая, заданная как годограф вектор-функции ; и Тогда прямая, являющаяся касательной к годографу вектор – функции в конце радиус – вектора , называется касательной к кривойГ.Поскольку по геометрическому смыслу является направляющим вектором касательной, уравнения касательной в точкеМ0(х0,y0,z0)можно записать в виде:

В случае задания кривой уравнениями

x=x,y=f(x),

(здесь роль параметра играет переменнаях), уравнения касательной имеют вид:

Составим уравнение касательной к кривой, заданной, как пересечение двух поверхностей, заданных уравнениями в неявной форме

в точке (x0,y0,z0).

Если параметрическое задание этой кривой имеет вид:x=x(t),y=y(t),z=z(t), то имеем тождества

Дифференцируя эти тождества, получим

Отсюда видно, что вектор касательной перпендикулярен каждому из векторов , т.е. коллинеарен их векторному произведению

Тогда уравнения касательной в точке (x0,y0,z0) имеют вид

Если на кривой указать положительное направление, соответствующее возрастанию параметраt,то вектор называют касательным вектором ориентированной кривой.

Углом между ориентированными кривыми, пересекающимися в некоторой точке, называется угол между их касательными в этой точке.

Пример 2.1Составить уравнения касательной к винтовой линии: в произвольной точкеtи для .

Решение. Так как то уравнение касательной в произвольной точке согласно (2.2) будет иметь вид

В частности при :

Пример 2.2Составить уравнения касательной к кривой Вивиани:x 2 +y 2 +z 2 =R 2 ,x 2 +y 2 =Rxв точкеМ0(R/2,R/2, ).

Решение: Кривая Вивиани является линией пересечения поверхностей сферы с центром в начале координат и кругового цилиндра с центром (образующей), смещенным вдоль оси (в данном случае)Охна величину, равную радиусу цилиндра. Диаметр цилиндра равен радиусу сферы.

Запишем уравнения поверхностей в неявном виде

x 2 +y 2 +z 2 –R 2 =0,

x 2 +y 2 –Rх=0.

Тогда и согласно (2.2) уравнения касательной в произвольной точке линии будут иметь вид

В точкеМ0(R/2,R/2, )уравнение касательной:

2.3ДЛИНА КРИВОЙ. НАТУРАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР КИВОЙ.

Рассмотрим дугу непрерывно дифференцируемой кривой

Г: x=x(t), y=y(t), z=z(t), .

В разделе «Определённый интеграл» мы получили формулу для нахождения длины дуги кривой:

Если в качестве параметра выбрана координатах,и криваязадана уравнениями:x=x,y=y(x),z=z(x), ,то:

При переменном верхнем пределе длина дуги будет переменной величиной:

Если параметромtкривой является переменная длина дугиs, то координаты точки М кривой будут зависеть от длины дугиs=АМ:x=x(s),y=y(s),z=z(s)(естественная параметризация).Тогда в формуле (2.7) и, следовательно, , т.е. вектор будет единичным вектором касательной к кривой.

Точка(x(t0),y(t0),z(t0))кривой называется особой, если , и неособой, если .

Для всякой непрерывно дифференцируемой кривой без особых точек существует ее представление , в котором за параметрsвзята переменная длина дуги этой кривой, т.е. натуральнаяпараметризация.

Пример 2.3Найти длину дугиs(t)винтовой линии

x=acost,y=asint,z=bt, .(2.7)

Решение: Касательный вектор винтовой линии равен . Тогда

Пример 2.4Записать натуральную параметризацию винтовой линии.

Решение: Длина дуги линии .Отсюда Подставляяtв выраженияx(t),y(t),z(t),получим уравнение винтовой линии в естественной (натуральной) параметризации: