Урок геометрии «Скрещивающиеся прямые и угол между ними», 10 класс

Жизнь не спросит, что ты учил. Жизнь спросит, что ты знаешь.

Вопросы для повторения Каково взаимное расположение прямых в пространстве? Какой из четырех углов, полученных при пересечении двух прямых, мы называем углом между пересекающимися прямыми? Дайте определение угла между скрещивающимися прямыми

Повторение: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся. a b b M

Повторение: формулу (теорема косинусов) При нахождении угла между пересекающимися прямыми используют

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и CB1 A C B D A A1 D1 C1 B1 Ответ: 90

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми А1В и CB1 A Ответ: 60

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми А1В и AC A Ответ: 60

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми CА и BD1

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми CА и BD1 B C2 D1

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми CА и BD1 B C2 D1 2 3 5 Ответ: 90

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и CС1 A B C D E F A1 F1 E1 D1 C1 B1 Ответ: 90

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и DE1 A B C D E F A1 F1 E1 D1 C1 B1 Ответ: 45

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и A1С1 A B C D E F A1 F1 E1 D1 C1 B1 Ответ: 30

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми А1В и ED1 A B C D E F A1 F1 E1 D1 C1 B1 Ответ: 90

1 1 1 О О1 В правильной шестиугольной призме A … F1 все ребра равны 1. Постройте сечение, проходящее через точку А1 параллельное плоскости В1ВС1 АА1 параллельно ВВ1 А1D1 параллельно В1С1 АА1 и A1D1 пересекаются Плоскость АА1D1D параллельна плоскости ВВ1С1С

1 1 1 О О1 В правильной шестиугольной призме A … F1, все ребра равны 1. Постройте в плоскости АА1D1 прямую, параллельную прямой ВС1 Плоскость (АА1D1) параллельна плоскости (ВВ1С1) А1О1 =В1С1 (радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника) АО1=ВС1 и параллельны

Решите задачи В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1

1 1 1 О О1 В правильной шестиугольной призме A … F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1 Построим плоскость АА1D1D параллельную плоскости ВВ1С1С. Тогда прямая AO1 параллельна прямой BC1, и искомый угол φ между прямыми AB1 и BC1 равен B1AO1.

2) Рассмотрим треугольник АВ1О1. AO1 = (диагональ квадрата) AB1 = (диагональ квадрата) B1O1= 1 (радиус описанной окружности) В правильной шестиугольной призме A … F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1

3) По теореме косинусов 2 2 2 AO1 + AB1 - B1O1 Cos B1AO1 = 2 AO1 AB1 Cos B1AO1 =0,75 Ответ: 0,75 В правильной шестиугольной призме A … F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1

Способы решения задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми

С помощью параллельного переноса Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся. Точку М можно выбрать произвольным образом. В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых. a b M m № 1

В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите угол между прямыми АВ1 и ВС1. № 1 1 1 1 1 1) Прямая AD1 параллельна прямой ВС1, 2) Треугольник В1AD1 – равносторонний,   В1AD1 = 600  Угол между прямыми АВ1 и ВС1 равен углу В1AD1.

Критерии оценивания выполнения задания С2 баллыКритерии оценивания 2Правильный ход решения. Верно построен или описан искомый угол. Получен верный ответ 11) Правильный ход решения. Получен верный ответ, но имеется ошибка в построении и описании искомого угла, не повлиявшая на ход решения 2) Правильный ход решения. Верно построен и описан искомый угол, но имеется ошибка в одном из вычислений, допущенная из-за невнимательности, в результате чего получен неверный ответ 01) Ход решения правильный, но оно не доведено до конца, или решение отсутствует. Нет ответа 2) Ход решения правильный, но имеются существенные ошибки в вычислениях, приведшие к неправильному ответу 3) Неправильный ход решения, приведший к неверному ответу 4) Верный ответ получен случайно при неверном решении или существенных ошибках в вычислениях

№ 2 D А В С С помощью тетраэдра

№ 2 D D1 А А1 В В1 С С1 С помощью тетраэдра В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите угол между прямыми АВ1 и ВС1. 1.Построим тетраэдр с противоположными ребрами AB1 и BC1 2.Применяя формулу, получаем Cos AB1,BC1 =0.5 AB1,BC1=60

Построим плоскость, которой принадлежит прямая а, прямая b ее пересекает 2) Построим b1 проекцию прямой b на плоскость 3)Прямые a и b1 пересекаются, прямые b и b1 пересекаются № 3 a b b1 Cos ab =Cos ab1 Cos bb1 Способ «в три косинуса»

№ 3 Способ «в три косинуса» Cos AB1,BC1 =Cos AB1B Cos B1BC1 1.Прямая BC1 лежит в плоскости (B1BC) 2.Построим проекцию ребра АВ1 на плоскость (B1BC) 3.Применяя формулу, получаем Cos AB1,BC1 =0.5 AB1,BC1=60 В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите угол между прямыми АВ1 и ВС1.

№ 4 1 1 1 1 1) Введем систему координат, считая началом координат (·) А, осями координат – прямые АВ, АD, АА1. cos  = 1/2,   (АВ1;AD1) = 600. Векторный способ В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите угол между прямыми АВ1 и ВС1.

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. Эта красота проявляется иногда в отчетливых, ярко очерченных идеях, где на виду всякая деталь умозаключений, а иногда поражает она нас в широких замыслах, скрывающих в себе кое-что недосказанное, но многообещающее. Н.Е.Жуковский

Презентация урока Электронный журнал https://sc8ruz.eljur.ru Статья В.И.Рыжика «Об углах между скрещивающимися прямыми и немного о прочих углах» Сайт учителя http://perepelovanv.ucoz.ru/ Домашнее задание

Подведение итогов урока: Сегодня на уроке я повторил … Сегодня на уроке я научился … Мне необходимо еще поработать над …

Учитель высшей категории, лауреат премии Фонда Сороса Тер-Ованесян Геворк Левонович http://uchu24.ru/video/ugol-mezhdu-skreschivayuschimisja-prjamymi.html Решение задач С2 http://www.youtube.com/watch?v=rDFqNztvOTg http://ege-ok.ru/2012/03/26/ugol-mezhdu-skreshhivayushhimisya-pryamyimi-zadanie-s2/ http://www.egetrener.ru/view_tema.php?tema=skre http://www.cleverstudents.ru/angle_between_skew_lines.html Видео-лекции и уроки

В.А.Смирнов Готовимся к ЕГЭ. Геометрия. Стереометрия./ – М.:МЦНМЩ,2011 Литература В.А.Смирнов ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия./ Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – М.:МЦНМЩ,2011

Краткое описание документа:

"Описание материала:

Одна из сложных задач стереометрии: нахождение угла между скрещивающимися прямыми. Я постаралась наиболее доступно показать данный материал своим ученикам. Для подготовленных учеников - различные методы нахождения угла На уроке показано решение одной задачи несколькими способами, что дает ученику возможность выбора наиболее оптимального для него стереометрической задачи.

Урок может быть использован в 11 классе при подготовке к единому государственному экзамену ( задание С2). При подготовке урока использована статья В.И.Рыжика «Об углах между скрещивающимися прямыми и немного о прочих углах».

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎