Задачи из книги Сергеева, Панферова “Математика. Профильный уровень. Задания части 2”. Стереометрия-3

Задача 1. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды вдвое больше ее высоты. Найдите отношение радиуса вписанной в пирамиду сферы к апофеме пирамиды.

Пусть , . Определим длину ребра основания. Для этого по теореме Пифагора для треугольника найдем :

– половина диагонали основания, следовательно, диагональ . А сторона основания тогда .

Радиус вписанной сферы равен радиусу окружности, вписанной в треугольник . Для его нахождения воспользуемся формулой

Площадь этого треугольника

Определяем отношение радиуса к апофеме:

Задача 2. В правильной пирамиде высотой и ребром основания угол между боковым ребром и плоскостью основания равен . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку Н параллельно ребрам и .

Высота правильного треугольника основания равна . Точка является точкой пересечения медиан, а следовательно, поделит указанную высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда

Высоту пирамиды и отрезок связаны соотношением:

Рассмотрим треугольники и . Они подобны и для них мы запишем отношения сходственных сторон:

А для подобных треугольников и справедливо, что

Сечение представляет собой прямоугольник. Стороны и параллельны прямой , и, следовательно, параллельны, стороны и параллельны прямой и тоже параллельны. Прямая перпендикулярна прямой , следовательно, прямая – проекция прямой на секущую плоскость – тоже перпендикулярна . А так как по построению параллельна , то – прямоугольник. Его площадь равна

Задача 3. Плоскость, параллельная боковому ребру и ребру основания правильной пирамиды , проходит на расстоянии от ребра . Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

Для определения площади сечения надо определить длины его сторон. Сечение – прямоугольник, доказательство этого факта приведено в предыдущей задаче. Его площадь будет равна произведению

Определим длину .Для этого рассмотрим треугольник .

Из подобия треугольников и следует отношение их сходственных сторон. Обозначим длину высоты треугольника , тогда по свойству афинной эквивалентности

Определим . Сделаем это через площадь треугольника . С одной стороны,

В треугольнике – высота правильного треугольника основания, . Высота этого треугольника, опущенная на – это высота пирамиды. Вершина пирамиды проецируется в центр основания. Центр основания – точка пересечения медиан, которые делятся точкой пересечения в отношении 2:1, поэтому

С использованием свойств афинной эквивалентности можно записать:

Площадь сечения равна

Задача 4. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой Н и двугранным углом при боковом ребре.

Обозначим диагональ основания пирамиды . Изобразим линейный угол двугранного угла. Для этого проведем перпендикуляры и к ребру – угол и будет линейным углом указанного двугранного. Обозначим отрезок . Тогда

Если обозначить сторону основания , то . Тогда

Так как нам в конечном итоге нужен объем, то определим и возведем в квадрат – это и будет площадью основания.

Пусть длина бокового ребра равна . Тогда для треугольника запишем теорему Пифагора:

Здесь – высота пирамиды. Пусть апофема пирамиды , она равна

Площадь боковой грани можно записать двумя способами: через апофему и основание, а также через длину бокового ребра и высоту .

Для удобства возведем в квадрат:

Теперь подставим в это равенство квадраты длин отрезков, найденные нами ранее:

Чтобы упростить, привлечем на помощь тригонометрию:

Теперь, наконец, объем:

Задача 5. В правильной пирамиде с вершиной боковое ребро равно , а двугранный угол при этом ребре равен . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки и середину ребра .

Задача близка к предыдущей и мы этим воспользуемся. Из треугольника

В предыдущей задаче установлена связь

Тогда, зная это, (а ведь это площадь основания), найдем ее четверть, ведь это – площадь проекции искомого сечения на основание, потому что высота треугольника вдвое меньше высоты треугольника , а его площадь равна половине площади основания:

Далее мы воспользуемся тем, что

Где – угол наклона сечения к основанию.

Поработаем еще с формулой (1), вытащим высоту:

Теперь подставим эту высоту в формулу для найденной площади проекции сечения (в формулу (2)):

Свяжем угол наклона плоскости сечения к основанию и линейный угол двугранного угла, для этого определим тангенс угла :

Известно (из тригонометрии), что

Определяем площадь сечения:

Задача 6. Все ребра правильной пирамиды с вершиной равны 2. Плоскость, параллельная прямым и , пересекает ребра и в точках М и N. Найдите периметр сечения пирамиды этой плоскостью, если .

Периметр сечения равен

Будем находить длины этих отрезков поэтапно. Самое простое – длина отрезка . Это средняя линия треугольника . Так как ребра основания равны 2, то диагональ основания .

и – средние линии соответствующих треугольников и . Поэтому .

Осталось определить длины отрезков и .

Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный и прямоугольный, прямой угол при вершине . Это следует из соотношения длин ребер. Тогда

. Тогда, так как , то . Кроме того, это также означает, что , а по теореме о трех перпендикулярах это означает, что . Треугольник прямоугольный, запишем теорему Пифагора для него, :