Методика подготовки учащихся к решению задач по темам «Задачи на движение» и«Задачи на смеси и сплавы», включенных в егэ по математике

При решении этих задач принимать следующие допущения и правила:

1) Если нет специальных оговорок, то движение считать равномерным.

2) Скорость считать величиной положительной.

3) Повороты движущихся тел, переходы на новый режим движения

считать происходящими мгновенно.

4) Все данные сразу переводить в одни и те же единицы измерения.

Задача 1. На 60 км пути велосипедист тратит на 4 ч больше времени, чем мотоциклист. Если же он увеличит скорость на 3 км/ч, то он на тот же путь потратит в 4 раза больше времени, чем мотоциклист. Найдите скорость велосипедиста.

Анализ. Данная задача описывает движение двух объектов: велосипедиста и мотоциклиста. Вспомним, что равномерное прямолинейное движение задается формулой S = V • t , где S - путь, V - скорость, t - время, взятые в соответствующих единицах. Имеет смысл составить два уравнения.

Решение: Пусть х км/ч - скорость велосипедиста, у км/ч - скорость мотоциклиста. Тогда — 60/x - время велосипедиста, и — 60 /у - время у мотоциклиста, соответствующие первой части условия.

В предполагаемом варианте скорость велосипедиста будет (х+3) км/ч и его время 60: (x+3)ч. Получим 60 : (х+3)=4·( 60/у)

Р ассмотрим систему уравнений.

Заметим, что в задаче спрашивается скорость велосипедиста, поэтому можно перейти к уравнению относительно х :

Решаем II уравнение : 60 : (х + 3) = 4 · (60 : х – 4)

15 : (х + 3) = 60 : х – 4

х 2 = - не удовл.. условию задачи.

Во время экзамена за неимением времени можем использовать таблицы, в которые заносятся данные величины, а также выражения, возникающие по ходу рассуждений.

Задача 2. Из пункта А в пункт В выехал автобус со скоростью 40 км/ч. После того, как автобус проехал 30 км, из пункта А со скоростью 60 км/ч

в ыехал автомобиль, который прибыл в пункт В на ч позже автобуса. Найдите расстояние между пунктами.

Решение: Совместное движение началось в момент выхода автомобиля из пункта А. К этому времени автобус прошел 30 км со скоростью 40 км/ч за

- это 1 участок пути автобуса.

В торой участок пути автобус прошел за t ч. Так как скорость движения 40 км/ч, то это расстояние равно 40t км, а в общей сложности автобус прошел (30 + 40 t) км . За t часов автомобиль со скоростью 60 км/ч прошел 60 t км и до пункта В ему осталось пройти 60. Таким образом, расстояние от пункта

А до пункта В равно (60t + 5) км. Составим уравнение:

3 0 + 40 t = 60 t+5, откуда t = . Тогда расстояние между пунктами равно 30+(км)

4. Задачи на смеси ( сплавы ).

4.1.Теоретические основы решения задач «на смеси, сплавы, растворы»

Задачи на смеси и сплавы имеют практическое значение, являются хорошим средством развития мышления учащихся. Они расширяют базовый курс математики и позволяют учащимся осознать практическую ценность математики. Задачи на растворы, смеси и сплавы обладают диагностической и прогностической ценностью, то есть с их помощью можно проверить знания основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности, то есть лишний раз проверить и оценить свои способности к математике. При решении задач на растворы, смеси и сплавы очевидны межпредметные связи с химией, физикой и экономикой, знание этого повышает учебную мотивацию учащихся по всем предметам.

Трудности при решении этих задач могут возникнуть на различных этапах:

составления математической модели ( уравнения, системы уравнений, неравенства)

решения полученной модели;

анализа математической модели ( по причине кажущейся ее неполноты: не хватает уравнений в системе или слишком много неизвестных и пр.)

Тип задач на составление уравнений и систем уравнений – задачи на сплавы и смеси, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», «проба», «влажность».

При решении задач данного типа использу­ются следующие допущения:

1. Всегда выполняется «Закон сохранения объема или массы»:если два раствора (сплава) соединяют в «новый» раствор (сплав),то выполняются равенства:

V = V 1 + V 2 - сохраняется объем;

закон сохранения массы.

Данный закон выполняется и для отдельных составляющих частей

(компонентов) сплава (раствора).

3. При соединении растворов и сплавов не учитываются хими­ческие взаимодействия их отдельных компонентов.

К онцентрация - это число, показывающее, сколько процентов от всей смеси составляет растворимое вещество. Если масса смеси т кг, масса растворимого вещества а кг, концентрация р %, то между этими величинами существует следующая зависимость: ; 100 *а = т*р.