Отображения на примере школьной задачи

Практически в любом сборнике олимпиадных задач по физике можно найти задачу о бесконечной цепочке резисторов. Она формулируется так: чему равно сопротивление изображенной на рис. 1 цепочки резисторов, которая состоит из одинаковых звеньев (рис.1)?

Сопротивления всех резисторов одинаковы, и мы будем полагать их равными единице. Традиционное решение этой задачи основано на соображении о том, что добавление еще одного звена к бесконечной системе не изменяет ее, т.е. данная схема эквивалентна показанной на рис. 2.

В результате приходим к схеме, показанной на рис.3.

Здесь x 0 – искомое сопротивление. Нетрудно получить, что

Откуда следует ответ к задаче:

Описанный метод в журнале “Квант” в статье, посвященной методам вычисления сопротивлений различных схем, назвали методом Иона Тихого – по имени известного героя Станислава Лема, сумевшего разместить постояльца в полностью заполненной гостинице с бесконечным числом номеров.

Такое решение, хотя и весьма изящно, но оставляет некоторое чувство неудовлетворения, поскольку остаются открытыми некоторые вопросы. В первую очередь: какое отношение к реальности имеет эта задача и это решение? Ведь реальная цепочка будет содержать конечное число звеньев. Можно сформулировать вопрос так: если мы можем измерять сопротивление с заданной точностью, то сколько звеньев должна содержать цепочка, чтобы считаться бесконечной? Кроме того, если вдуматься, то заранее не очевидно, что добавление новых звеньев в реальной конечной цепочке будет приближать результат измерения сопротивления к значению x 0 . Вдруг малые погрешности, которые вносят реальные резисторы, будут вносить нарастающий вклад, ведь цепочка бесконечная.

Оказывается, на все эти вопросы можно ответить, привлекая изящный математический аппарат дискретных отображений , являющийся частью современной теории д инамических систем .

Итак, обратимся к нашей схеме, отсчитаем конечное число звеньев n и n +1 от правого конца (рис.4).

Из рисунка хорошо видно, что схема эквивалентна такой:

Отсюда легко получаем

Это и есть простейший пример дискретного отображения . В общем виде одномерное дискретное отображение задается соотношением

(В нашем случае ) Мы назвали отображение одномерным , поскольку в него входит одна переменна – x .

Дискретное отображение x n +1 = f( x n ) является, по-видимому, простейшим примером динамической системы . Смысл этого термина раскрывается просто: отображение x n +1 = f( x n ) по заданному начальному значению x 1 позволяет определить все последующие значения переменной x 2 , x 3 и т.д. Действительно:

Свойства дискретных отображений удобно иллюстрировать на так называемой итерационной диаграмме. Для ее построения надо прежде всего изобразить график функции f( x) . В нашем случае это перевернутая гипербола, смещенная влево на две единицы и на одну единицу вверх (рис.6). (Заметим, что поскольку сопротивления положительны, то смысл имеет лишь кусок графика в первой четверти.)

На графике изображается еще и биссектриса. Задавшись теперь начальным значением x 1 , можно найти x 2 = f( x 1 ) по графику. Затем это значение переносится на биссектрису и процедура повторяется. Возникает своеобразная лесенка, иллюстрирующая ход итераций.

Как видно из графика, наше отображение имеет, как говорят, неподвижную точку , т.е. такую, для которой x 0 = f( x 0 ) . Она как раз соответствует решению задачи по методу Иона Тихого.

По рисунку получается, что последовательные итерации сходятся к неподвижной точке. Как это доказать более строго? Каков характер сходимости (быстрый, медленный)? На эти вопросы можно ответить в общей формулировке.

Для этого исследуем поведение системы в случае, когда значений переменной близки к предельному значению x 0 . Положим поэтому и , где знаком "тильда" сверху обозначены малые добавки к x 0. Тогда из имеем

Таким образом, если имеется некоторая маленькая добавка к значению x 0 , то после первой итерации она умножается на постоянное число C = f '( x 0 ) , после второй – на C 2 , после третьей – на C 3 и т.д. Это означает, что переменная x приближается к неподвижной точке по закону геометрической прогрессии с показателем C . Отметим, что наше рассмотрение на итерационной диаграмме соответствует тому, что мы аппроксимируем f( x) касательной (вспомните геометрический смысл производной!) в окрестности x 0 Соответствующая итерационная диаграмма и дает геометрическую прогрессию (рис.7).

Теперь по свойству геометрической прогрессии автоматически получаем, что если

• , то итерации сходятся;
• , то итерации расходятся.

Это, как говорят, позволяет судить об устойчивости неподвижной точки.

В первом случае неподвижную точку называют устойчивой, а во втором – неустойчивой.

Сходящийся процесс мы уже изобразили на итерационной диаграмме, а расходящийся может выглядеть так (рис.8):

Вернемся от отображения общего вида к нашему случаю. Тогда

Итак, как мы видим C =0.145900. Это означает, что итерации сходятся, причем поскольку f '( x 0 ) мало, значит, сходятся очень быстро. В этом убеждаемся, итерируя соотношение