Лаб.раб. по механике / ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №12

Применить метод размерностей к выводу формулы периода колебаний математического маятника.

измерить с помощью маятника ускорение свободного падения.

ОБОРУДОВАНИЕ: экспериментальная установка.

Как известно , если на материальную точку массой действует возвращающая сила, пропорциональная смещению материальной точки из положения равновесия, то есть, если

то оно совершает гармоническое колебание по закону

с частотой или периодом .

М атематический маятник – это тело малых размеров, колеблющееся на нити длиной . Пусть в некоторый момент времени математический маятник находится в положении, указанном на рис.12.1. Смещение маятника от положения равновесия определяется вектором , а действующая на маятник возвращающая сила равна . Если колебания малые ( ), то и, кроме того, векторы и примерно антипараллельны. Из рисунка видно, что , отсюда и возвращающая сила равна , или в векторном виде , здесь .

Таким образом, связана со смещением так же, как сила в формуле (12.1). Следовательно, математический маятник совершает гармонические колебания с периодом

Еще раз отметим, что эта формула тем лучше определяет период колебания, чем лучше удовлетворяется условие .

Из формулы (12.3) следует:

Период Т тем больше, чем больше длина .

Период Т зависит от g, следовательно, в разных местах на Земле период будет различный.

Период малых колебаний не зависит от амплитуды колебаний.

Период колебаний не зависит от массы колеблющегося тела (это свойство маятника следует из пропорциональности инертной и гравитационной масс).

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА И МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ

Выражение для периода колебаний – важнейшая характеристика маятника – может быть получено не только путем решения дифференциального уравнения, но и с помощью более простого, но чрезвычайно важного в физике метода размерностей.

Можно предположить, что период колебаний зависит от длины маятника , массы и ускорения свободного падения так, что эту зависимость можно записать в виде степенного соотношения-

где - безразмерный коэффициент, а - подлежащие определению показатели степени. Приравняем размерности левой и правой части уравнения (12.4)

где - обобщенные обозначения единиц времени, массы и длины. Сравнивая показатели при слева и справа, будем иметь . Отсюда . Учитывая этот результат, (12.4) можно записать в виде

Правило размерностей не позволяет определить безразмерную постоянную .

В задачу данной работы входит экспериментальное определение показателей и постоянной . Прологарифмируем выражение (12.4)

Из (12.7) следует, что

Для того, чтобы найти , необходимо определить, по крайней мере, два периода колебаний Т1 и Т2 для двух различных масс m1 и m2 маятника при условии . Тогда из (12.7) легко получить

Для того, чтобы найти , необходимо определить два периода колебаний Т1 и Т2 для двух различных длин маятника и при условии . Тогда

Число в данной работе найти нельзя, так как из формулы следует, что необходимо произвести измерения двух периодов колебаний при двух различных значениях . Поэтому примем, что входит в формулу (12.5) в степени как это следует из правила размерностей.

Безразмерный коэффициент А нельзя найти методом размерностей. К счастью, во многих случаях он близок к единице. Но в некоторых случаях он существенно отличается от единицы. Формула для периода математического маятника – один из этих примеров.

Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника.

М атематический маятник можно применить для определения ускорения свободного падения. Пусть Т1 и Т2 - периоды колебаний маятника при двух длинах нитей и (рис.12.2). Тогда на основании можно записать

Возведя (12.10) в квадрат и вычитая одно из другого, получим:

ПРИМЕЧАНИЕ. Формула не используется непосредственно для определения ускорения свободного падения, так как не всегда известно положение центра масс маятника.

Экспериментальная установка представляет собой математический маятник с изменяемой длиной, которую можно определить по миллиметровой шкале. Масса маятника изменяется навинчиванием дополнительных грузов. Период колебаний определяется с помощью секундомера по числу колебаний.

Изучите теорию данного вопроса.

Изучите экспериментальную установку и порядок работы с ней.

Используя метод размерностей, определите экспериментально показатели и .

Определите период колебания маятника при различных начальных углах отклонения нити. Возьмите углы 10 о , 20 о , 30 о , 40 о , 50 о и постройте график зависимости периода от угла отклонения. Какие колебания можно считать малыми?

Определите с помощью математического маятника ускорение свободного падения.

Оцените погрешности косвенных измерений.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Дайте определение математического маятника.

Изложите способ определения зависимости Т от на основе теории размерностей.

Изложите суть экспериментального способа определения зависимости Т от .

Почему в данной работе не определяется число ? Опишите условия, в которых можно было бы измерить .

Запишите формулу для определения периода колебаний математического маятника и проанализируйте смысл в нее входящих величин.

Выведите рабочую формулу для определения ускорения свободного падения.

Изменится ли период маятника от того, что мы его поместим в воду? Маятнику придана обтекаемая форма и можно считать, что трение о воду равно нулю.

Получите формулы погрешностей косвенных измерений.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.