Потеря устойчивости: причина внезапного обрушения зданий

Неустойчивость — опасное явление в механике конструкций, приводящее к внезапным и катастрофическим последствиям при малом повышении нагрузки. В этом посте мы рассмотрим некоторые классы задач неустойчивости и способы их анализа.

На вечеринках иногда показывают такой фокус: взрослый человек встает на пустую алюминиевую банку из-под напитка, и она не расплющивается под его весом.

Толщина алюминиевых стенок банки — всего 0,1 миллиметра, однако они способны выдержать нагрузку — при условии сохранения формы идеального цилиндра. Осевое напряжение меньше предельного напряжения сдвига: чтобы убедиться в этом, достаточно разделить силу на площать поперечного сечения.

Но если слегка нажать на точку на цилиндрической поверхности, банка сплющится. Сплющивающая нагрузка для идеального цилиндра больше веса человека, который показывает фокус, однако очень незначительное вмешательство способно существенно уменьшить устойчивость под нагрузкой. Это явление называется чувствительностью к дефектам. Это один из источников проблем при проектировании структур, которые должны быть устойчивы к сжатию. На этой странице показаны примеры сплющенных оболочек, размеры которых намного больше, чем у банки из-под напитка.

Математически потеря устойчивости является задачей о бифуркации. При определенном уровне нагрузки существует более одного решения. На диаграмме ниже показана точка бифуркации и три возможных траектории решения, исходящих из нее. Как показано на диаграмме, вторичная траектория может относиться к одному из трех фундаментально различных типов.

Решение с бифуркацией.

Если предельная нагрузка продолжает возрастать, то решение можно отнести к стабильным. Это наименее опасная ситуация, но если вы ее не распознаете, то в результате вычислений, скорее всего, получите слишком малые напряжения. Это приведет к недооценке предельной нагрузки.. Траектории, отмеченные как neutral (нейтральная) и unstable (нестабильная), являются более опасными, поскольку при пиковой нагрузке ограничения на смещение отсутствуют.

При наличии более одного решения возникает вопрос, какое из них является корректным. Все решения удовлетворяют уравнениям равновесия, но в реальном мире поведение структуры будет соответствовать одной определенной траектории. Будет реализована та траектория, которая позволяет минимизировать энергию. Решение, которое вы получите путем расчетов на основе стандартной линейной теории, в общем случае не всегда будет предпочтительным.

В качестве аналогии можно рассмотреть поведение шарика на волнистой поверхности. Он может находиться в равновесии как на вершине, так и в точке минимума, однако при любом возмущении он скатится в точку минимума. Точно так же даже малое возмущение в структуре подтолкнет ее к более энергетически выгодному состоянию. В реальном мире идеальных структур не бывает: в геометрии, материалах или нагрузках всегда будут определенные возмущения.

Самый простой подход к решению задачи потери устойчивости — линеаризованный анализ потери устойчивости. На начальных курсах инженерного дела такие задачи решаются на бумаге. Примером является расчет критических нагрузок для стержней под сжатием (один из вариантов — формула Эйлера для критической нагрузки потери устойчивости продольно сжатого стержня).

В COMSOL Multiphysics существует специальный тип исследования — Линейная потеря устойчивости (Linear Buckling). В таком исследовании пользователь добавляет внешние нагрузки произвольного масштаба. Это может быть нагрузка на единицу площади или предполагаемая рабочая нагрузка. Исследование состоит из двух шагов исследования:

1. Шаг исследования Стационарный (Stationary), на котором вычисляется напряженное состояние от приложенной нагрузки.
2. Шаг исследования Линейная потеря устойчивости (Linear Buckling). Это решение задачи о собственных значениях, в ходе которого напряженное состояние применяется для определения коэффициента критической нагрузки (Critical load factor).

Коэффициентом критической нагрузки называется величина, на которую нужно умножить приложенные нагрузки, чтобы получить нагрузку потери устойчивости. Если моделирование осуществлялось с рабочими нагрузками, то коэффициент критической нагрузки может служить характеристикой запаса прочности. Коэффициент критической нагрузки может быть меньше единицы: это означает, что вы применили нагрузку, которая превышает критическую. Само по себе это не является проблемой, поскольку анализ линеен. Коэффициент критической нагрузки может быть даже отрицательным. Это означает, что минимальная нагрузка, необходимая для потери прочности, должна быть приложена в противоположном направлении.

Решение задачи о собственных значениях также предоставит вам сведения о форме моды потери устойчивости. Обратите внимание: форма моды известна лишь с точностью до произвольного множителя — так же, как собственная форма колебаний в анализе собственных частот.

Перед тем, как углубиться в подробности, следует предупредить читателя:

• Для некоторых реальных структур теоретическое значение критической нагрузки, вызывающей потерю устойчивости, может быть значительно выше фактического ввиду чувствительности к дефектам. Это особенно важно для тонких оболочек.
• Некоторые структуры проявляют существенную нелинейность даже до потери устойчивости. Причиной может быть нелинейность как геометрических характеристик, так и свойств материалов.
• Никогда не используйте условия симметричности в анализе потери устойчивости. Даже в том случае, если структура и нагрузки симметричны, форма после потери устойчивости может быть несимметричной.

Формы двух симметричных рам с немного различными поперечными сечениями и равными симметричными нагрузками после потери устойчивости.

Линеаризованный анализ потери прочности основан на следующей идее: задачу можно рассматривать как линейную задачу на поиск собственных значений. Критерием потери прочности является вырожденная матрица жесткости (т. е. неопределенность смещений). Набор приложенных нагрузок обозначим как \mathbf P_0 , состояние критической нагрузки — как \mathbf P_c = \lambda \mathbf P_0 , где \lambda — скалярный множитель.

Матрица полной жесткости для полной геометрически нелинейной задачи, \mathbf K , может быть представлена в виде суммы двух слагаемых. Первое — обычная матрица жесткости для линейной задачи, \mathbf K_L . Второе — нелинейная добавка, \mathbf K_ , зависящая от нагрузки.

В линейном приближении матрица \mathbf K_ пропорциональна нагрузке, т. е.

Матрица жесткости является вырожденной, если ее определитель равен нулю. Таким образом, мы получаем задачу об однородных значениях для параметра, \lambda .

Низшее собственное значение, \lambda , является коэффициентом критической нагрузки, а соответствующая собственная мода, \mathbf u , описывает форму потери устойчивости.

По умолчанию вычисляется только одна мода потери устойчивости, соответствующая минимальной критической нагрузке. Вы можете выбрать расчет любого количества мод: для сложных структур это может представлять интерес. Для системы может существовать несколько мод потери устойчивости с близкими коэффициентами критической нагрузки. При этом минимальное значение может не соответствовать наиболее опасному на практике ввиду, например, чувствительности к дефектам.

В ПО COMSOL не следует отмечать этап исследования Линейная потеря устойчивости (Linear Buckling) как геометрически нелинейный. Нелинейные условия, определяющие \mathbf K_ , задаются отдельно. Однако, если вы все-таки выберете геометрическую нелинейность, вы будете решать следующую задачу:

, и расчетный коэффициент критической нагрузки будет отличаться от правильного значения на единицу. Если моделируемая нагрузка мала по сравнению с критической, то этой разницей можно пренебречь.

Примером анализа линеаризованной потери устойчивости служит модель Linear Buckling Analysis of a Truss Tower (Линейный анализ потери устойчивости для башни с распорками).

Иногда в системе действует два набора нагрузок: один, \mathbf Q , при анализе потери устойчивости можно считать постоянным, а другой, \mathbf P_0 , умножается на коэффициент нагрузки \lambda . При этом для расчета коэффициента критической нагрузки необходимо учитывать сочетание двух этих систем нагрузок.

Математически задачу можно представить в виде

Такую задачу можно решить в COMSOL Multiphysics с помощью одного из двух подходов:

1. Провести анализ поведения после потери устойчивости, зафиксировав один набор нагрузок и увеличивая другой. Это прямолинейный подход, однако он требует неоправданно много вычислительных ресурсов.
2. Воспользоваться измененной версией исследования Линейная потеря устойчивости (Linear Buckling), как описано ниже.

Программное обеспечение обладает высокой гибкостью, поэтому встроенное исследование Потеря устойчивости легко изменить так, чтобы учитывать две отдельные системы нагрузок. Для этого в первую очередь нужно добавить дополнительный интерфейс физик, который используется только для расчета напряженного состояния, обусловленного исключительно постоянной нагрузкой. Проведите решение для этого интерфейса только на шаге стационарного анализа, не переходите к шагу потери устойчивости.

Дополнительный интерфейс физик на шаге Линейная потеря устойчивости неактивен.

Далее необходимо сформировать вклад дополнительной матрицы жесткости в исследование потери устойчивости на основе напряжений, которые были рассчитаны во втором интерфейсе физик. Для этого добавьте следующий сверхмалый вклад:

Здесь \boldsymbol \sigma^ — тензор напряжений постоянной нагрузки, \mathbf E и \boldsymbol \epsilon — тензор деформации Грина — Лагранжа и тензор линейной деформации соответственно. Другими словами, разность \mathbf E-\boldsymbol \epsilon содержит квадратичные члены тензора деформации Грина — Лагранжа.

Вклад системы постоянных нагрузок для двумерной задачи по механике твердого тела.

После этого можно запустить исследование как обычно. Рассчитанный коэффициент критической нагрузки применяется только ко второй системе нагрузок.

Линеаризованный анализ потери устойчивости позволяет определить только критическую нагрузку, но не поведение системы после ее достижения. Во многих случаях вам требуется лишь защитить систему от достижения нагрузки, при которой происходит потеря устойчивости. Для решения таких задач достатрочно линеаризованного исследования. Однако иногда вам потребуется полное представление о ходе деформации. Возможные причины:

1. Структура обладает существенной нелинейностью и до критической нагрузки, поэтому линеаризованный анализ неприменим.
2. Вам требуется проанализировать чувствительность к дефектам.
3. По какой-либо причине компонент должен работать именно в режиме после потери устойчивости.

Для анализа поведения системы после потери устойчивости вам необходимо последовательно загружать структуру и отслеживать изменения кривой отклонения под нагрузкой. Для этого можно воспользоваться решателем параметрической непрерывности, который входит в состав ПО COMSOL.

Анализ поведения системы после потери устойчивости — нетривиальная задача. Ей присуща неотъемлемая проблема: у задачи бифуркации несколько решений — как определить, что вы получили подходящее? Кроме того, во многих случаях исленным проявлением потери устойчивости служит плохообусловленная или вырожденная матрица жесткости. Тогда решатель будет сходиться лишь в том случае, если вы воспользуетесь подходящими методами моделирования. Ниже я вкратце описал несколько полезных подходов.

Рассмотрим простой случай — например, консольную балку, к торцу которой приложена сжимающая нагрузка. При достижении сплющивающей нагрузки в трехмерном случае балка отклоняется в произвольном направлении, в двумерном случае — в одном из двух возможных направлений. При любом из этих решений схождение решателя маловероятно, если симметрия не нарушена, поскольку задачи с симметрией при нагрузке, приводящей к потере устойчивости, становятся вырожденными. Если вы добавите небольшую поперечную нагрузку, приложенную к торцу, то сможете легко выполнить трассировку решения. Примером использования такого метода служит модель Large Deformation Beam (Балка при больших деформациях).

Во многих случаях структура переходит из одного состояния в другое практически мгновенно. Ниже приведен простой пример: ферма, состоящая из двух стержней.

Анализ быстрого перехода для простой фермы. При отклонении 0.2 оба стержня находятся в горизонтальном положении.

При увеличении силы в точке A достигается максимальное значение. Матрица жесткости при этом становится вырожденной. Физически структура при этом примет обратную форму и перейдет в состояние B. Этот переход на графике отмечен красными точками. В реальности переход будет динамическим. Накопившаяся энергия деформации будет высвобождена и преобразована в кинетическую энергию.

Один из способов решения этой задачи — провести временной анализ, в котором инерционные силы будут уравновешивать внешние нагрузки и внутренние силы упругости. Однако такой подход требует больших вычислительных ресурсов и поэтому используется редко.

Чтобы провести трассировку вдоль сплошной зеленой линии, можно заменить установленную нагрузку на установленное смещение и регистрировать силу противодействия. Замена нагрузок установленными смещениями — простой способ стабилизировать модель, однако у этого метода есть ограничения:

• Его область применимости во многом ограничена случаями, когда внешняя нагрузка приложена к одной точке.
• Установленное вами смещение должно монотонно возрастать.

Ниже описан более общий метод. Вначале рассмотрим пологую цилиндрическую оболочку, как на рисунке ниже. К ее центру приложена одноточечная нагрузка, что подталкивает нас применить управление по смещению. Но, как показывает график ниже, ни сила, ни смещение под действием этой силы в ходе потери устойчивости не изменяются монотонно.

Пологая цилиндрическая оболочка и график зависимости смещения от нагрузки.

Анимация процесса потери устойчивости.

Для таких задач в литературе рекомендуют использовать решатель по длине дуги. Одним из методов такого рода является популярный метод Рикса. Нас часто спрашивают, почему мы не добавляем такой решатель в наш пакет. Простой ответ: он нам не нужен.

С такой задачей можно легко справиться с помощью решателя непрерывности (continuation solver), который входит в состав COMSOL Multiphysics, если знать, как это сделать. Все, что вам требуется — определить количественную характеристику модели, которая будет монотонно возрастать, а затем воспользоваться ей для управления анализом. Например, в вышеописанной модели в качестве управляющего параметра вы можете выбрать усредненное вертикальное смещение поверхности оболочки.

После этого добавьте интенсивность нагрузки в качестве дополнительной степени свободы для задачи с помощью Глобального уравнения (окно Global Equations). Требуется обеспечить соответствие системы следующему уравнению: среднее смещение, определяемое с помощью оператора усреднения, должно быть равно параметру непрерывности (на снимке экрана выше он называется disp ).

Добавление Глобального уравнения для управления нагрузкой.

Стационарный решатель, настроенный для расчета непрерывности. Полную модель можно загрузить из Галереи моделей (Model Gallery).

Область применимости описанного выше метода не ограничивается задачами потери устойчивости в механике. Его можно использовать для решения любой неустойчивой задачи — например, для анализа процессов активации в электромеханических системах.

В некоторых случаях требуется выполнить моделирование дефектов в явном виде. К примеру, существуют стандарты, согласно которым нагрузка должна обладать определенным эксцентриситетом, а балка — определенной предполагаемой внутренней кривизной. При добавлении дефекта кривая отклонения под нагрузкой совершает переход между двумя ветвями идеальной кривой бифуркации.

Траектория решения для модели, изначально содержащей дефекты.

При добавлении возмущения к модели, геометрия которой чувствительна к дефектам, максимальная нагрузка может существенно снизиться. Именно это происходит с алюминиевой банкой в описанном выше примере. Такое поведение не является побочным эффектом моделирования с помощью метода конечных элементов — оно отражает физическую реальность. Поэтому для структур такого типа особенно важно учитывать дефекты.

Траектория решения для модели, чувствительной к дефектам.

Как выбрать подходящий дефект для вашей модели?

Хорошей стратегией будет — вначале провести линеаризованный анализ потери устойчивости, а затем использовать вычисленную форму моды в качестве дефекта. Идея заключается в том, что структура будет наиболее чувствительна именно к этой форме. Точно передавать форму при этом не требуется: достаточно приблизительного соответствия. Величина возмущения должна примерно соответствовать ожидаемым значениям для реальной структуры с учетом технологических допусков и условий эксплуатации.

В некоторых случаях стоит рассчитать несколько мод потери устойчивости и проверить несколько из них, если коэффициенты критической нагрузки оказались одного порядка. Чувствительность к дефектам для различных мод потери устойчивости может сильно отличаться.

Часто проще не изменять геометрию модели, а добавить возмущение с помощью дополнительной нагрузки. В таком случае вы сможете быть уверены,что напряжения, вызванные этой нагрузкой, не приведут к существенному изменению задачи.