Тема урока "Геометрический смысл производной"

Образовательные: создать условия для овладения учащимися системы знаний, умений и навыков с понятиями механический и геометрический смысл производной.

Воспитательные: формировать у учащихся научное мировоззрение.

Развивающие: развивать у учащихся познавательный интерес, творческие способности, волю, память, речь, внимание, воображение, восприятие.

Методы организации учебно-познавательной деятельности:

• наглядные;
• практические;
• по мыслительной деятельности: индуктивный;
• по усвоению материала: частично-поисковый, репродуктивный;
• по степени самостоятельности: лабораторная работа;
• стимулирующие: поощрения;
• контроля: устный фронтальный опрос.

Оборудование: мультимедийный проектор (презентация), карточки (лабораторная работа).

“Человек лишь там чего – то добивается, где он верит в свои силы”

Организация класса в течение всего урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина.

Постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы.

Определить значимость изучаемого материала как в данной теме, так и во все курсе.

1. Найдите производные:

2. Логический тест.

а) Вставить пропущенное выражение.

Общее направление развития науки, в конечном счете, обусловлено требованиями практики человеческой деятельности. Существование древних государств со сложной иерархической системой управления было бы невозможно без достаточного развития арифметики и алгебры, ибо сбор податей, организация снабжения армии, строительство дворцов и пирамид, создание оросительных систем требовали выполнения сложных расчетов. В эпоху Возрождения расширяются связи между различными частями средневекового мира, развиваются торговля и ремесла. Начинается быстрый подъем технического уровня производства, промышленное применение получают новые источники энергии, не связанные с мускульными усилиями человека или животных. В XI-XII столетии появляются сукновальные и ткацкие станки, а в середине XV - печатный станок. В связи с потребностью в быстром развитии общественного производства в этот период изменяется сущность естественных наук, носивших со времен древности описательный характер. Целью естествознания становится углубленное изучение естественных процессов, а не предметов. Описательному естествознанию древности соответствовала математика, оперировавшая постоянными величинами. Необходимо было создать математический аппарат, который давал бы описание не результата процесса, а характера его течения и свойственных ему закономерностей. В итоге к концу XII столетия, Ньютон в Англии и Лейбниц в Германии завершили первый этап создания математического анализа. Что же такое “математический анализ”? Как можно охарактеризовать, предсказать особенности протекания любого процесса? Использовать эти особенности? Глубже проникать в сущность того или иного явления?

Пойдем по пути Ньютона и Лейбница и посмотрим, каким способом можно анализировать процесс, рассматривая его как функцию времени.

Введем несколько понятий, которые помогут нам в дальнейшем.

Графиком линей ной функции y=kx+ b является прямая, число k называют угловым коэффициентом прямой. k=tg , где – угол прямой, то есть угол между этой прямой и положительным направлением оси Ох.

Рассмотрим график функции у=f(х). Проведем секущую через любые две точки, например, секущую АМ. (Рис.2)

Угловой коэффициент секущей k=tg . В прямоугольном треугольнике АМС <МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Сам термин “скорость” характеризует зависимость изменения одной величины от изменения другой, и последняя необязательно должна быть временем.

Итак, тангенс угла наклона секущей tg = .

Нас интересует зависимость изменения величин в более короткий промежуток времени. Устремим приращение аргумента к нулю. Тогда правая часть формулы – производная функции в точке А (объясните почему). Если х –> 0, то точка М движется по графику к точке А, значит прямая АМ приближается к некоторой прямой АВ, которая является касательной к графику функции у = f(х) в точке А. (Рис.3)

Угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке.

Механический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, то есть новая характеристика изучаемого процесса. Эту величину Лейбниц назвал производной, а Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость.

№91(1) стр 91 – показать на доске.

Угловой коэффициент касательной к кривой f(х) = х 3 в точке х0 – 1 есть значение производной этой функции при х = 1. f’(1) = 3х 2 ; f’(1) = 3.

№91 (3,5) – под диктовку.

№92(1) – на доске по желанию.

№ 92 (3) – самостоятельно с устной проверкой.

№92 (5) – за доской.

Ответы: 45 0 , 135 0 , 1,5 е 2 .

Цель: отработка понятия “механический смысл производной”.

Приложения производной к механике.

Задан закон прямолинейного движения точки х = х(t), t [0;10].

1. Среднюю скорость движения на указанном отрезке времени;
2. Скорость и ускорение в момент времени t04
3. Моменты остановки; продолжает ли точка после момента остановки двигаться в том же направлении или начинает двигаться в противоположном направлении;
4. Наибольшую скорость движения на указанном отрезке времени.

1. x (t) = t 2 -3 t, t0 = 4.
2. x (t) = t 3 +2 t, t0= 1.
3. x (t) = 2t 3 - t 2 , t
4. x (t) = t 3 -2 t 2 +1, t0= 2.
5. x (t) = t 4 - t 2 +2, t0= 0,5.
6. x (t) = 2t 3 -2,5 t 2 +3 t 2 + 1, t0= 1.
7. x (t) = (t-3)(t-t 2 ), t0= 2.
8. x (t) = (t+2)( t 2 –t +5), t0= 4.
9. x (t) = (t-1) 3 , t0= 3.
10. x (t) = t 4 + t 3 + t 2 + 4 t, t0= 0,5.
11. x (t) = t 4 + t 3 + t 2 + 2 t, t0= 1.
12. x (t) = , t0= 4.

1. Каков физический смысл производной перемещения? (Скорость).
2. Можно ли найти производную скорости? Используется ли эта величина в физике? Как она называется? (Ускорение).
3. Мгновенная скорость равна нулю. Что можно сказать о движении тела в это момент? (Это момент остановки).
4. Каков физический смысл следующих высказываний: производная движения равна нулю в точке t0; при переходе через точку t0 производная меняет знак? ( Тело останавливается; меняется направление движения на противоположное).

Образец выполнения работы учащимся.

1. Средняя скорость движения vср=
2. = х(10)-х(0)=1000-2·100+1-1=1200

В противоположном направлении.

Начертим схематично график скорости. Наибольшая скорость достигается в точке

t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260

1) В чем состоит геометрический смысл производной? 2) В чем состоит механический смысл производной? 3) Сделайте вывод о своей работе.