Решение задач - ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

2) решить задачи, близкие по содержанию задачам, включенным в зачет.

I. Проверка домашнего задания

Двое учеников решают у доски домашние задачи.

№ 203. Дано: О - центр окружности, вписанной в ΔАВС; OK ⊥ ABC, АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см, ОК = 4 см (рис. 1).

Найти: расстояние от точки К до сторон ΔАВС.

1. Окружность касается сторон ΔАВС в точках N, L, М. NO = LO = МО = r, OK ⊥ ABC (по условию); ON ⊥ АВ; KN ⊥ AB; OL ⊥ AC ⇒ KL ⊥ АС; ОМ ⊥ ВС; КМ ⊥ ВС по теореме о 3-х перпендикулярах ⇒ NK, LK, МК - искомые отрезки.

2. Проекции этих отрезков равны радиусу вписанной окружности ⇒ равны и сами отрезки КМ = KL = KN.

4. В ΔКОМ - прямоугольном - КМ = 5 см. (Ответ: 5 см.)

№ 207. Дано: ΔАВС, АС = 10 см, АВ = ВС = 13 см; КМ = MN = МР =

1. О - центр вписанной окружности.

2. ΔМКО = ΔMNO = ΔМРО (по катету и гипотенузе).

II. Решение задач

Третий ученик решает задачу № 216.

Дано: A ⊂ MN, В ⊂ MN; MN - ребро двугранного угла; ∠САК = 120°; АС ⊥ MN, BD ⊥ MN; AB = AC = BD = a (рис. 2).

1. Проведем DK || AB AK || BD, тогда АК ⊥ АВ, АК = KD = а. Так как АС ⊥ АВ; АК ⊥ АВ, то ∠CAK - линейный угол двугранного угла.

2. Из ΔСАК по теореме косинусов получим.

3. Так как АВ ⊥ САК; DK || АВ, то DK ⊥ САК ⇒ DK ⊥ СК, поэтому ΔCKD - прямоугольный. Из ΔCKD получим (Ответ: 2a.)

№ 204. Дано: ΔАВС - правильный; ОМ ⊥ ABC, ОМ = а; О ⊂ (ОМ), ∠MCO = φ (рис. 3).

Найти: а) МА, MB, МС, расстояние от точки М до прямых АВ, ВС, СА; б) l; в) SΔABC.

а) 1. Проведем высоты AD, ВК, СЕ. В ΔABC они пересекаются в точке О (центр ΔАВС); ОА = ОВ = ОС; ΔМАО = ΔМВО = ΔМСО (по двум катетам) ⇒ МА = MB = МС.

2. Из ΔМСО имеем:

3. (по 2-м катетам) ⇒ МК = ME = MD.

4. Так как OD - проекция MD на плоскость ABC и OD ⊥ ВС, то MD ⊥ ВС (теорема о 3-х перпендикулярах). Из ΔMDO:

Провести разноуровневую самостоятельную работу на 6 вариантов.

В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 6, 8, 10. Найти диагональ параллелепипеда и угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 5, 7, √47. Найти диагональ параллелепипеда и синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, АВ = 6, AD = 8, AA1 = 10.

Найти: 1 .B1D; 2. ∠B1DB.

Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед; АВ = 5, AD = √47; AA1 = 7.

Найти: 1. B1D; 2. sin a.

Из вершины A прямоугольного ΔАВС (∠C = 90°, ∠B = 60°) восстановлен перпендикуляр к плоскости ABC и на нем взят отрезок AM = h. Точка М соединена с В и С. Найдите SΔMBC, если двугранный ∠ABCM = 30°.

Дано: ΔАВС - прямоугольный, ∠С = 90°, ∠В = 60°; AM ⊥ ABC, АМ = h; ∠АВСМ = 30°.

1. МА ⊥ АBС; АС ⊥ ВС, то по теореме о 3-х перпендикулярах МС ⊥ ВС ⇒ двугранным углом между плоскостями ВСМ и ABC будет ∠АСМ.

2. ΔАМС - прямоугольный;

3. ΔABC - прямоугольный;

Точка М находится на расстоянии h от плоскости α. Проведены 2 наклонные МР и MQ (где Р и Q - основания наклонных), соответственно под углами 45° и 60°. Найдите PQ, если ∠POQ = 150°, где О - основание перпендикуляра МО, МО ⊥ α.

Дано: МР и MQ - наклонные; МО = h; ∠MQO = 45°; ∠МРО = 60°; ∠POQ = 150°; M ⊄ α.

Треугольник AВС равносторонний, сторона АВ наклонена под ∠45° к плоскости α.

Под каким углом наклонена плоскость ΔABC к плоскости α.

Дано: ΔАВС – равносторонний, ∠ВАО = 45°; АС ⊂ α.

1. Проведем BD ⊥ АС и ВО ⊥ α. По теореме о 3-х перпендикулярах OD ⊥ АС, BD ⊥ AC => АС ⊥ BOD; ∠BDO – линейный угол двугранного угла ВАСО, угол между плоскостью α и плоскостью ΔABC.

2. ΔАВО - прямоугольный (ВО ⊥ α), следовательно ВО ⊥ АО. По определению перпендикуляра к плоскости; ВО = АО = а.

3. АВ = а√2 (т. Пифагора).

4. ΔABC - прямоугольный;

5. ΔDBO - прямоугольный; (Ответ: )

Плоскость квадрата ABCD со стороной а перпендикулярна плоскости равнобедренного ΔВСМ с углом В 120°. Найдите SΔADM.

Дано: ABCD - квадрат; АВ = а; ΔВСМ - тупоугольный равнобедренный; ∠В = 120°; ABCD ⊥ ΔВСМ. Найти: SΔADM.

Решение: Угол между двумя плоскостями ABC и МВС - ∠MKN; ∠MKN - прямой (по условию) ⇒ ΔMKN - прямоугольный; МК - высота ΔМВС; NK = АВ = а (по построению); MN – высота ΔAMD, так как MN ⊥ ND по теореме о 3-х перпендикуляраx; (Ответ: )

III. Подведение итогов

Разобрать задачи, предложенные в самостоятельной работе.

Подготовиться к зачету.

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.