Геометрические приложения определенного интеграла

1 Геометрические приложения определенного интеграла Кривая L на плоскости задается своей параметризацией x = x(t), y = y(t), t [t, T ]. (1) Заметим, что изменяется единственный параметр t. Часто говорят, что он «пробегает» отрезок от t до T. Функции x(t), y(t) иногда называют координатными функциями. Если они непрерывны, то и кривая непрерывна. Если они непрерывно дифференцируемы (и производные не обращаются одновременно в нуль), то кривая называется гладкой. Непрерывная кривая будет замкнутой, если x(t ) = x(t ) и y(t ) = y(t ). Если y однозначно выражается через x, то x можно взять в качестве параметра. В этом случае кривую можно определить как часть графика функции y(x) в декартовой системе координат от точки (, y()) до точки (b, y(b)). Параметризация (1) в этом случае переписывается как x = x, y = y(x), x [, b]. () Кривая в трехмерном пространстве задается тремя координатными функциями от одного параметра t. x = x(t), y = y(t), z = z(t), t [t, T ]. () Длина кривой L это интеграл (вообще говоря, это криволинейный интеграл, где ds это дифференциал дуги кривой). ds. L В случае, если кривая задается параметризацией (1), то длина кривой вычисляется с помощью обычного интеграла Римана по формуле T (dx ) ( ) dy + dt. dt dt t В частном случае () формула длины кривой приобретает вид ( ) dy 1 + dx. dx Соответственно, в случае трехмерной кривой с параметризацией () T (dx ) ( ) ( ) dy dz + + dt. dt dt dt t 1

2 На плоскости часто используются полярные координаты, где координаты любой точки понимаются как координаты радиус-вектора, проведенного из начала координат в эту точку. Радиус-вектор можно однозначно определить через его длину (обычно обозначается r или ρ) и угол между ним и положительным направлением оси Ox (обычно обозначается ϕ). Отметим также, что всегда r, но в случае r = величина ϕ не определена. Связь между полярной и декартовой системой координат: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Длина плоской кривой, заданной в полярных координатах уравнением r = r(ϕ), ϕ [, β], где r(ϕ) непрерывно дифференцируемая на [, β] функция, равна r + ( ) dr dϕ. (4) dϕ Пример: Найти длину замкнутой кривой, задаваемой соотношением в полярных координатах r = sin ϕ ( > ). Решение: Будем рассматривать только те значения ϕ, когда sin ϕ. Другим значениям ϕ не соответствует никаких участков кривой, поскольку r не может быть отрицательным. Когда ϕ пробегает от до π, величина r плавно возрастает от до, далее при изменении ϕ от π до π величина r плавно убывает от до (симметрично возрастанию). Строим график в полярной системе координат, отметим его симметричность относительно вертикальной оси (результат при = 1 изображен на рисунке ниже).

3 Дифференцируем r по ϕ: Согласно (4) dr dϕ = d ( sin ϕ ) = sin ϕ dϕ cos ϕ. π = = = π π ( sin ϕ π ) ( d + dϕ ( ϕ ) sin ) dϕ = sin 6 ϕ + ϕ ϕ sin4 cos dϕ = sin ϕ sin ϕ + ϕ π cos dϕ = sin ϕ dϕ = ( 1 cos ϕ ) dϕ = ( ϕ sin ϕ ) π = π. Поверхность в трехмерном пространстве задается тремя координатными функциями от двух параметров u и v (здесь Ω некоторая плоская область). x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) Ω. (5) Если z однозначно выражается через x и y, то поверхность можно определить как часть графика функции z(x, y) и (5) в этом случае переписывается как x = x, y = y, z = z(x, y), (x, y) Ω. Для некоторых предметов можно полагать, что их толщина пренебрежимо мала по сравнению с их длиной. Такой объект можно считать кривой линией. Его плотность (масса на единицу длины) может быть постоянна в каждой точке, а может быть переменная (поскольку зависит от материала, от формы и размеров сечения). Если плотность постоянна, то масса предмета вычисляется просто умножением длины на плотность. Если плотность переменная и задается функцией ϱ(s), то масса предмета вычисляется через интеграл (здесь l это длина кривой) m = ϱ(s)ds.

4 Статические моменты кривой относительно осей Ox и Oy M x = Координаты центра масс y(s)ϱ(s)ds, M y = x = M y m, x(s)ϱ(s)ds. ỹ = M x m. (6) Моменты инерции кривой относительно осей Ox и Oy I x = y (s)ϱ(s)ds, I y = x (s)ϱ(s)ds. Пусть плоская фигура Φ является криволинейной трапецией, заданной неравенствами Φ = . Легко понять, что площадь такой фигуры вычисляется интегрированием разности функций f (x) и f 1 (x) по отрезку [, b] (геометрический смысл определенного интеграла) S = (f (x) f 1 (x)) dx. Пусть функция r(ϕ) непрерывна и неотрицательна на отрезке [, β] ( < β π). Площадь криволинейного сектора Φ, ограниченного 4

5 графиком функции r(ϕ) в полярных координатах и соответствующими отрезками лучей ϕ =, ϕ = β (см. рисунок) равна S = 1 r (ϕ) dϕ. (7) Для простоты будем полагать, что фигура однородна, плотность фигуры (масса на единицу площади) постоянна. Тогда масса фигуры вычисляется просто умножением ее площади на плотность. Статические моменты относительно осей Ox и Oy (здесь плотность ϱ = const) M x = ϱ ( f (x) f1 (x) ) dx. M y = ϱ x (f (x) f 1 (x)) dx. Моменты инерции относительно осей Ox и Oy I x = ϱ I y = ϱ ( f (x) f 1 (x) ) dx. x (f (x) f 1 (x)) dx. Координаты центра масс вычисляются по формулам (6). Для криволинейного сектора Φ, ограниченного графиком функции r(ϕ), ϕ [, β] в полярных координатах и соответствующими отрезками 5

6 лучей ϕ =, ϕ = β формулы принимают вид: M x = ϱ M y = ϱ I x = ϱ 4 I y = ϱ 4 r (ϕ) sin ϕ dϕ. r (ϕ) cos ϕ dϕ. r 4 (ϕ) sin ϕ dϕ. r 4 (ϕ) cos ϕ dϕ. Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, задаваемой соотношением в полярных координатах r = sin 5ϕ ( > ). Решение: Когда ϕ пробегает от до π, величина 5ϕ пробегает от до 1π, то есть мы имеем пять периодов функции синус. Рассмотрим график синуса на отрезке [, 1π]. Разобьем этот отрезок на десять равных частей. На пяти из них (где синус неотрицательный) велична r(ϕ) плавно меняется от до и затем обратно до. На остальных пяти соотношение, указанное в условии невозможно (так как r не может быть отрицательным), и таким углам ϕ не соответствует никаких участков кривой. Легко понять, что в полярных координатах мы получим пятилепестковый «цветочек». 6

7 Достаточно вычислить площадь одного «лепестка», ответ получим умножением на 5. Первый лепесток лежит в секторе, ограниченном лучами, выходящими из начала координат под углами и π/5 (по отношению к положительному направлению оси Ox). Согласно (7) S = 1 = 4 π/5 ( sin 5ϕ) dϕ = 4 (ϕ + 11 ) π/5 sin 1ϕ π/5 = π. (1 + cos 1ϕ) dϕ = Ответ: π 4. Продолжение следует. 7