Угол между прямыми план-конспект урока по геометрии (10 класс) на тему

Угол между прямыми план-конспект урока по геометрии (10 класс) на тему

Цели и задачи урока: Сформировать понятие угла между: Пересекающимися ; Параллельными; скрещивающимися прямыми. Научиться находить угол между: Пересекающимися; параллельными ; скрещивающимися прямыми.

Вспомним: Основание призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – трапеция. Какие из следующих пар прямых являются скрещивающими?

Расположение прямых в пространстве и угол между ними 1. Пересекающиеся прямые. 2. Параллельные прямые. 3. Скрещивающиеся прямые.

Любые две пересекающие прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла .

Если пересекающиеся прямые образуют четыре равных угла, то угол между этими прямыми равен 90°. а b

Угол между двумя параллельными прямыми равен 0° .

Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.

Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми и .

Угол между скрещивающимися прямыми, как и между прямыми одной плоскости, не может быть больше 90°. Две скрещивающиеся прямые, которые образуют угол в 90°, называются перпендикулярными. a b a 1 c c 1 d

Угол между скрещивающими прямыми Пусть AB и CD – две скрещивающиеся прямые. Возьмём произвольную точку М 1 пространства и проведём через неё прямые А 1 В 1 и C 1 D 1 , соответственно параллельные прямым AB и CD . А В C D А 1 В 1 C 1 D 1 M 1 φ Если угол между прямыми А 1 В 1 и C 1 D 1 равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен φ.

Найдём угол между скрещивающимися прямыми AB и CD В качестве точки M 1 можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых. А В C D M 1 А 1 В 1 φ

Физкультминутка для глаз

Покажите перпендикулярные скрещивающиеся прямые в окружении.

Дано изображение куба. Найдите угол между скрещивающимися прямыми а и b . 90° 45° Ответ Ответ

Дано изображение куба. Найдите угол между скрещивающимися прямыми а и b . 90° 60° Ответ Ответ

Дано изображение куба. Найдите угол между скрещивающимися прямыми а и b 90° 90° Ответ Ответ

Домашнее задание: §4 (стр. 85-89), №268, №269.

Задача №1 В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SC . Найдите угол между прямыми AD и BE .

Работа в классе: Задачи: № 263 №265 №267

Предварительный просмотр:

________ Л. Р. Вольняк

«__» ________ 2016г.

Тема : "Угол между прямыми"

Обучающие: с помощью практических заданий обеспечить понимание учащимися определения угла между пересекающимися, параллельными и скрещивающимися прямыми;

Развивающие: развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание; вырабатывать самостоятельность в освоении новых знаний.

Воспитательные: воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волевые качества; формировать эмоциональную культуру и культуру общения.

Тип урока: Изучение нового материала.

Методы: словесный (рассказ), наглядный (презентация), диалогический.

  1. Организационный момент.
  • Приветствие.
  • Сообщение целей и задач урока.
  • Мотивация изучения нового материала.
  • Психолого-педагогическая настройка учащихся на предстоящую деятельность.
  • Проверка присутствующих на уроке;
  1. Актуализация знаний.

Метод: фронтальный опрос (устно) :

  1. Какие разделы изучает геометрия?
  2. Какие фигуры изучает планиметрия, а какие стереометрия?
  3. Каково взаимное расположение двух прямых в пространстве?
  4. Сколько углов образуется при пересечении двух прямых в пространстве?
  5. Как определить угол между пересекающимися прямыми?
  1. Основание призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – трапеция. Какие из следующих пар прямых являются скрещивающими?

Ответ: ABи CC 1 ,A 1 D 1 и CC 1 .

  1. Изучение нового материала.

Расположение прямых в пространстве и угол между ними.

  1. Пересекающиеся прямые.
  2. Параллельные прямые.
  3. Скрещивающиеся прямые.

Любые две пересекающие прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла.

Если пересекающиеся прямые образуют четыре равных угла, то угол между этими прямыми равен 90°.

Угол между двумя параллельными прямыми равен 0°.

Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.

Слайд 9 Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми и .

Угол между скрещивающимися прямыми, как и между прямыми одной плоскости, не может быть больше 90°. Две скрещивающиеся прямые, которые образуют угол в 90°, называются перпендикулярными.

Угол между скрещивающими прямыми.

Пусть ABи CD – две скрещивающиеся прямые.

Возьмём произвольную точку М 1 пространства и проведём через неё прямые А 1 В 1 и C 1 D 1 , соответственно параллельные прямым AB и CD.

Если угол между прямыми А 1 В 1 и C 1 D 1 равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен φ.

Найдём угол между скрещивающимися прямыми ABи CD.

В качестве точки M 1 можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых.

1. Покажите перпендикулярные скрещивающиеся прямые в окружении.

2. Дано изображение куба. Найдите угол между скрещивающимися прямыми а и b.

  1. Закрепление нового материала

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SC .Найдите угол между прямыми AD и BE .

Искомый угол = углу CBE .Треугольник SBC-равносторонний.

ВE – биссектриса угла = 60. Угол CBE равен 30.

Какой угол называется углом между скрещивающими прямыми?

Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми a 1 и b 1 , причем a 1 || a, b 1 || b.

Угол между прямымиaи bравен 90°. Верно ли, что прямые aи bпересекаются?

Неверно, так как прямые могут либо пересекаться, либо скрещиваться.

DABC – тетраэдр, точка О и F – середины ребра AD и CDсоответственно, отрезок TK – средняя линия треугольника ABC.

  1. Чему равен угол между прямымиOFи CB?
  2. Верно ли, что угол между прямымиOFи TK равен 60°?
  3. Чему равен угол между прямымиTFи DB?

ТК – средняя линия ∆АВС.

  1. В плоскости АВС через точку С проходит прямая АС, параллельная прямой OF(т.к. OF – средняя линия ∆АВС, поэтому АСВ – угол между скрещивающимися прямыми OFт СВ. ∆АВС – правильный, поэтому АСВ=60°.Ответ: 60°
  2. Т.к. OF || AC и TK || CB, то угол между прямымиOF и TK равен углу между прямыми AC и CB, т.е. 60°.Ответ: верно.
  3. Т.к. TF || AD (по свойству средней линии), то ADB=60°.Ответ: 60°
  1. Рефлексия
  • Что мы узнали нового?
  • Справились ли мы с теми задачами которые были заданы в начале урока?
  • Какие задачи мы научились решать?
  1. Домашнее задание.

§4 (стр. 85-89), №268, №269.

Предварительный просмотр:

________ Л. Р. Вольняк

«__» ________ 2016г.

Тема : "Угол между прямыми"

Обучающие: с помощью практических заданий обеспечить понимание учащимися определения угла между пересекающимися, параллельными и скрещивающимися прямыми;

Развивающие: развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание; вырабатывать самостоятельность в освоении новых знаний.

Воспитательные: воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волевые качества; формировать эмоциональную культуру и культуру общения.

Тип урока : обобщение и систематизация знаний и умений.

Методы: словесный (рассказ), диалогический.

  1. Организационный момент.
  • Приветствие.
  • Сообщение целей и задач урока.
  • Мотивация изучения нового материала.
  • Психолого-педагогическая настройка учащихся на предстоящую деятельность.
  • Проверка присутствующих на уроке;
  1. Проверка домашнего задания

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольный параллелепипед, точка О и Т – середины рёбер СС 1 и DD 1 соответственно. а) Верно ли, что угол между прямыми AD и TO равен 90°? б)Чему равен угол между прямыми A 1 B 1 и BC?

а) Верно, так как TO || DC => (AD, TO) = ADC = 90° (ABCD – прямоугольник).

б)BC || B 1 C 1 => (A 1 B 1 , BC) = A 1 B 1 C 1 = 90°.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. а) Верно ли, что угол между прямыми A 1 B и C 1 D равен 90°? б) Найдите угол между прямыми В 1 О и C 1 D. в) Верно ли, что угол между прямыми АС и C 1 D равен 45°?

а) Верно, так как В 1 А || C 1 D => (A 1 B, C 1 D)= (B 1 A, A 1 B) = 90°, как угол между диагоналями квадрата.

б) 1. В 1 А || C 1 D=> (B 1 O, C 1 D) = AB 1 O.

2. в Δ AB 1 С AB 1 = В 1 С = АС как диагонали равных квадратов В 1 О – медиана и биссектриса AB 1 С=60° => AB 1 O=30°.

в) нет, так как C 1 D || BA => (AС, C 1 D)= B 1 АC=60° как угол равностороннего Δ AB 1 С.

  1. Актуализация знаний.

Метод: фронтальный опрос (устно) :

  1. Какие разделы изучает геометрия?
  2. Чему равен угол между параллельными прямыми?
  3. Какие фигуры изучает планиметрия, а какие стереометрия?
  4. Какой угол называется скрещивающимся?
  5. Как называются две прямые скрещивающиеся, которые образуют угол 90°?
  1. Закрепление изученного.
  1. Определение угла между скрещивающими.

Ребро куба равно а .

Найти : (АВ 1 ,СС 1 )

  1. Пусть а и b – скрещивающиеся прямые, а прямая b 1 || b. Верное ли утверждение, что угол между прямыми а и b равен углу между прямыми a и b 1 ? Если да, то почему?
  1. Какой угол называется углом между скрещивающими прямыми?

Ребро куба равно а .

Найти : (АВ 1 ,СD 1 ).

(AB1, CD1)= (AB1, BA1)Угол между диагоналями квадрата

Ответ: (AB1, CD1)=90˚

  1. Прямая а и b скрещивающиеся. Прямая l проходит через точку О а, параллельная прямой b и образует с прямой а угол, равный β. Верно ли, что угол между прямыми а и b равен β?Если да, то почему?

Работа в классе: №1, №2, №3, №270,

Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, точки М, N и P-середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка К лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых: а) ND и AB; б) PK и BC; в) MN и AB; г) МР и AC; д) KN и AС; е) MD и BC.

а) ND и AB – пересекаются: у них общая точка В.б) РК и ВС – пересекаются, так как РК не является средней линией ΔDBC и, значит, РК не параллельны ВС.

в) МN и AB параллельны, так как МР – средняя линия в ΔADC.г) МР и АС – параллельны, так как МР – средняя линия в ΔADC.д) KN и АС скрещивающиеся, KN пересекает плоскость АВС в точке В, В АС.

е) MD и ВС скрещивающиеся, MD – пересекает плоскость АВС в точке А, А ВС.

Через вершину А ромба ABCD проведена прямая a , параллельная диагонали BD, а через вершину С-прямая b , не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: а) прямые а и CD пересекаются; б) а и b скрещивающиеся прямые.

а) а || BD, BD и CD – пересекаются => a и CD пересекаются. а ⊂ α , BD α .б) а и b не лежат в одной плоскости, а и b скрещиваются ( по признаку скрещивающихся прямых). b пересекает α в точке С, С а .

Прямая а параллельна стороне BC параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что а и CD-скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен:

a || BC, значит a || плоскости ABCD. CD ВС => СD скрещивается с а.а) В = 50°. Проведём в плоскости ABCD прямую l так, чтобы l || DC(а, значит l || а). CBMN – параллелограмм .Угол между а и CD будет равен углу между l и СВ, то есть острому углу CNM.

б) Если С=121°, тогда между а и CD будет являться острый угол AMN. AMN = 180°-121°=59°.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб, точка О пересечения диагоналей грани DD1C1C.а) Найдите угол между прямыми A 1 O и AB 1 ;

б) Верно ли, что угол между прямыми A 1 0 и KT (точки К и Т – середины рёбер АА 1 и AD соответственно) равен 30°?

а)1)AB 1 || DC 1 => ( A 1 O, AB 1 ) = A 1 OD; 2) в ΔDA 1 C 1 DA 1 =A 1 C 1 =C 1 D (как диагонали равных квадратов) => A 1 O- медиана и высота => A 1 OD=90°;

б)1) да, так как КТ || A 1 D (как средняя линия ΔAA 1 D)=> ( A 1 O, КТ) = DA 1 O;

2) в ΔDA 1 C 1 DA 1 C 1 = 60°, A 1 O – его биссектриса => DA 1 O=30°.Ответ: а) 90°, б) 30°.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎