Разработка открытого урока по теме «Физическое приложение определенного интеграла» 1 курс СПО

Образовательные: Проверить знания и умения по теме «Вычисление определенного интеграла и площади криволинейной трапеции».

Формировать комплексное представление о практических приложениях интеграла в различных областях.

Развивающие: способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Оборудование: комплект карточек для самостоятельной работы, компьютер, системно – обобщающие схемы, инструменты для работы у доски.

Организационный момент

Проверка готовности студентов к уроку (рабочее место, внешний вид)

Сообщение целей урока

Закрепление и проверка уровня усвоения материала по теме «Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница. Геометрический смысл интеграла»

Индивидуальное задание на применение геометрического смысла интеграла

Самостоятельная работа на вычисление определенного интеграла

Изучение нового материала

Объяснение нового материала преподавателем

Решение типового примера на вычисление пути по известному закону изменения скорости

Усвоение новых знаний

Решение примеров и задач под руководством преподавателя

Решение кейс - задачи

Проверка умений студентов применять знания в измененных, нестандартных условиях

Тестовая работа с проверкой в классе.

Домашнее задание

Организационный момент.

Сегодня мы повторим формулы нахождения первообразных, проверим ваши навыки их нахождения, рассмотрим приложение определенного интеграла к решению различных физических задач, т. е. возможность применения элементов интегрального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального мира.

Закрепление и проверка уровня усвоения материала.

Индивидуальные задания

Фронтальный опрос

Что называется первообразной?

Повторим таблицу первообразных

Сформулируйте три правила нахождения первообразных.

Вычислить первообразную функций

х 3 – х 2 + 3

2 с os 3 x

Какую фигуру называют криволинейной трапецией?

Какие из фигур, изображенных на рис. являются криволинейными трапециями?

Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Запишите формулу Ньютона- Лейбница.

Проверим работу у доски

Самостоятельная работа (индивидуальная работа по карточкам) (Приложение 1)

Студентам даются карточки с заданиями (всего 31 вариант) и таблица с буквами и правильными ответами. На доске записаны числа от 1 до 31. Студент, выполнивший задание, записывает на доске под номером своей карточки букву, которая соответствует ответу его примера и получает новую карточку. За правильно решенные 2-3 задания он получает оценку. При положительном результате должно получиться предложение «Чистая совесть – самая мягкая подушка».

Итог. Полученная фраза не связана непосредственно с темой урока, хотя в жизни мы часто слышим похожие фразы: «Жить по совести», «В ладу со своей совестью», "Работу выполняю качественно, поэтому моя совесть чиста". Кто еще знает похожие пословицы? Кто знает притчу про эту пословицу? Необязательное задание на дом: найти притчу в интернете.

Вы хорошо (не очень) справились с нахождением определенных интегралов (работа показала, сто часть студентов не в полной мере овладело навыками нахождения определенных интегралов). …

Объяснение нового материала.

Приступая к рассмотрению задач на применение интеграла, вспомним некоторые понятия, связанные с дифференциальным исчислением:

Какое действие называется дифференцированием?

Каков физический смысл производной? (это скорость изменения некоторого процесса)

Какие задачи решили с помощью производной?

Изучая производную, мы говорили о физическом смысле производной – это скорость изменения некоторого процесса, т.е. если некоторый процесс протекает по закону s = s ( t ), то производная выражает скорость протекания процесса в момент времени t . Рассматривая производную скорости по t , получим скорость изменения скорости, т.е. ускорение: .

Путь (перемещение)

Предположим, что точка движется по прямой (по оси ОХ)

Какой путь она пройдет за время t ?

Из физики известно, если V = const , то .

Если движение равноускоренное, то путь считают функцией времени S = s ( t ), тогда скорость в любой момент времени равна производной пути .

Скорость изменения скорости – это ускорение, , .

Обратная задача.

Если известен закон изменения скорости, то S – это первообразная для V , т.е. , а а – первообразная для V , т.е. .

Как найти перемещение точки за промежуток времени [t1 ; t2]?

Если скорость точки постоянна и равна V, то перемещение вычисляется так:

Пусть теперь это скорость меняется и задан закон этого изменения V=V(t).

Перемещение за промежуток времени [t1 ; t2] равно:

- закон изменения ускорения.

Полезная схема:

Пример Тело движется прямолинейно со скоростью v ( t )=3 t 2 +4 t +1 (м/с). Найти путь, пройденный телом за первые 3с.

Так как путь, пройденный за промежуток времени выражается интегралом, то (м)

Закрепление нового материала

Решение задач (Приложение 5)

Задача №1 Скорость поезда, движущегося под уклон, задана уравнением v ( t ) = 15+0,2 t . Вычислите длину уклона, если поезд прошел его за 15 секунд.

Решение. Согласно формуле имеем (м)

Задача №2 Поезд движется прямолинейно со скоростью (м/с). Найти длину пути, пройденного поездом от начала движения до остановки.

Решение. Скорость движения равно нулю в моменты начала движения и остановки. Найдем момент остановки, для чего решим уравнение

Задача №3 Скорость движения тела изменяется по закону м/с. Найти длину пути, пройденного телом за 3-ю секунду его движения.

Задача №4 Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону м/с. Найти наибольшую высоту подъема.

Решение: Найдем время, в течении которого тело поднималось вверх: (в момент наибольшего подъема скорость равна нулю; (с). Поэтому (м).

Задача №5 Два тела одновременно выходят из одной точки: одно – со скоростью м/с, другое – со скоростью м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 20 с, если движутся по прямой в одном направлении?

Задача №6 Два тела одновременно начали прямолинейное движение из некоторой точки в одном направлении со скоростями м/с и м/с. Через сколько секунд расстояние между ними будет равно 250 м?

Решение: Пусть - момент встречи. Тогда

Так как , то получаем уравнение , откуда (с)

Задача №7 Электровоз движется с ускорением, меняющимся по закону . В момент времени t 0 = 1с электровоз имел скорость V 0 = 0,05м/с.

Вычислить скорость движения электровоза в момент времени t = 3с.

Решение: Скорость – это первообразная ускорению, находим формулу для вычисления скорости

Найдем С из условия

Обобщение материала по разделу «Начала математического анализа»

Итог. Рассмотрев зависимости между физическими величинами, можем сделать вывод, что физические задачи делятся на две категории – нахождение производной и нахождение первообразной (интеграла). Рассмотрим некоторые задачи на применение производной и интеграла используя схему (1).

Задача №7 (кейс задача) Электровоз движется прямолинейно изменяется по закону (м/с) .

Какая скорость была у электровоза в момент времени t = 2с .

Найти ускорение электровоза в момент времени t = 2с.

Путь, пройденный электровозом за 2 секунды от начала движения.

Скорость в момент времени – это значение функции при t = 2: м/с

Ускорение тела определяется выражением

Первичная проверка понимания и осознания материала

Тестовая работа с проверкой в классе (Приложение 6)

Домашнее задание.

Итог урока. К величинам, которые вычисляются с помощью интеграла можно отнести перемещение, работу, массу, электрический заряд, давление, теплоту. К ним можно присоединить геометрические величины – длину, площадь, объем.

Надеюсь, что сегодня вы смогли ответить на вопрос «Зачем это нужно?» и «Где это применяется?»

Карточка вариантов ответов

Таблица ответов к самостоятельной работе «Разминка»

1. Скорость катера, движущегося прямолинейно, изменяется по закону . Ускорение катера в момент времени равно …

2. Скорость катера, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Скорость катера на пути контролируется четырьмя камерами через определенное время от начала движения. Установите соответствие между временем и скоростью передвижения катера.

3. Скорость катера, движущегося прямолинейно, изменяется по закону . Время катера, при котором ускорение а = 45, равно ….

4. Скорость катера, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Путь, пройденный катером за 4 секунды от начала движения, равен ….

1. Скорость пассажирского поезда, движущегося прямолинейно, изменяется по закону . Ускорение пассажирского поезда в момент времени равно …

2. Скорость пассажирского поезда, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Скорость пассажирского поезда на пути контролируется четырьмя камерами через определенное время от начала движения. Установите соответствие между временем и скоростью передвижения пассажирского поезда.

3. Скорость пассажирского поезда, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Время пассажирского поезда, при котором ускорение а = 212, равно ….

4. Скорость пассажирского поезда, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Путь, пройденный пассажирским поездом за 3 секунды от начала движения, равен ….

1. Скорость гоночного автомобиля, движущегося прямолинейно, изменяется по закону . Ускорение гоночного автомобиля в момент времени равно …

2. Скорость гоночного автомобиля, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Скорость гоночного автомобиля на пути контролируется четырьмя камерами через определенное время от начала движения. Установите соответствие между временем и скоростью передвижения гоночного автомобиля.

3. Скорость гоночного автомобиля, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Время гоночного автомобиля, при котором ускорение а = 46, равно ….

4. Скорость гоночного автомобиля, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Путь, пройденный гоночным автомобилем за 5 секунд от начала движения, равен ….

1. Скорость велосипедиста, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Ускорение велосипедиста в момент времени равно …

2. Скорость велосипедиста, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Скорость велосипедиста на пути контролируется четырьмя камерами через определенное время от начала движения. Установите соответствие между временем и скоростью передвижения велосипедиста.

3. Скорость велосипедиста, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Время велосипедиста, при котором ускорение а = 114, равно ….

4. Скорость велосипедиста, движущегося прямолинейно, изменяется по закону .

Путь, пройденный велосипедистом за 4 секунды от начала движения, равен ….

Задачи на применение первообразной и интеграла

№ 1 Скорость поезда, движущегося под уклон, задана уравнением . Вычислите длину уклона, если поезд прошел его за 15 секунд.

№ 2 Поезд движется прямолинейно со скоростью (м/с). Найти длину пути, пройденного поездом от начала движения до остановки.

№ 3 Скорость движения тела изменяется по закону м/с. Найти длину пути, пройденного телом за 3-ю секунду его движения.

№ 4 Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону м/с. Найти наибольшую высоту подъема.

№ 5 Два тела одновременно выходят из одной точки: одно – со скоростью м/с, другое – со скоростью м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 20 с, если движутся по прямой в одном направлении?

№ 6 Два тела одновременно начали прямолинейное движение из некоторой точки в одном направлении со скоростями м/с и м/с. Через сколько секунд расстояние между ними будет равно 250 м?

№ 7 Электровоз движется с ускорением, меняющимся по закону . В момент времени t 0 = 1с электровоз имел скорость V 0 = 0,05м/с.

Вычислить скорость движения электровоза в момент времени t = 3с.

№ 8 Скорость электровоза, движется прямолинейно изменяется по закону (м/с).